Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2021

La cuerda de un violín mide $32\ \text{cm}$ de largo y vibra con una frecuencia fundamental de $196\ \text{Hz}$.

a) ¿Cuál es la longitud de onda del primer armónico (fundamental)? Justifique la respuesta. Represente el segundo armónico e indique la posición de los nodos y los vientres. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es la frecuencia y la longitud de onda del sonido que es producido por el primer armónico del violín y que se propaga por el aire? [1,25 puntos]

Dato: la velocidad del sonido en el aire es de $340\ \text{m s}^{-1}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es la longitud de onda del primer armónico? Justifique la respuesta. Represente el segundo armónico e indique la posición de los nodos y los vientres. (1,25 puntos)}$

La cuerda del violín está sujeta por los dos extremos, de modo que en ambos ha de haber siempre un nodo. Esa condición solo la cumplen las ondas estacionarias en las que en la cuerda cabe un número entero de semilongitudes de onda:

$L=n\frac{\lambda_n}{2}\Rightarrow \lambda_n=\frac{2L}{n}$

Para el primer armónico, que es el modo más sencillo, con un solo vientre en el centro:

$\lambda_1=2L=2\cdot0{,}32$

$\lambda_1=0{,}64\,\text{m}$



En el segundo armónico caben dos semilongitudes de onda, de modo que su longitud de onda coincide con la longitud de la cuerda:

$\lambda_2=L=0{,}32\,\text{m}$

Tiene tres nodos, situados en los dos extremos y en el punto medio de la cuerda, y dos vientres, en los puntos que están a un cuarto y a tres cuartos de la longitud.

$\textbf{b) ¿Cuál es la frecuencia y la longitud de onda del sonido producido por el primer armónico del violín que se propaga por el aire? (1,25 puntos)}$

La cuerda hace vibrar el aire que la rodea con su misma cadencia, de modo que la frecuencia del sonido es la misma que la de la cuerda:

$f=196\,\text{Hz}$

Lo que sí cambia es la velocidad de propagación, porque el medio es otro. La longitud de onda en el aire es:

$\lambda_{\text{aire}}=\frac{v_{\text{aire}}}{f}=\frac{340}{196}$

$\lambda_{\text{aire}}=1{,}73\,\text{m}$

Es muy distinta de los $0{,}64\,\text{m}$ de la onda en la cuerda: al pasar de un medio a otro la frecuencia se conserva, pero la longitud de onda se ajusta a la velocidad de propagación de cada medio. De hecho, la velocidad de la onda en la cuerda es:

$v_{\text{cuerda}}=\lambda_1\,f=0{,}64\cdot196=125\,\text{m/s}$

bastante menor que la del sonido en el aire.