Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2021

Para conseguir soldaduras profundas, en la industria aeroespacial se utiliza la técnica de haces de electrones de alta densidad energética. Esta técnica consiste en bombardear con electrones de alta energía las piezas que se han de soldar dentro de una cámara de vacío. El haz de electrones se genera calentando a alta temperatura una banda de wolframio. Posteriormente, el haz se acelera bajo la acción de un campo eléctrico uniforme que se crea aplicando una diferencia de potencial de $15\ \text{kV}$ entre el ánodo y el cátodo.

a) Si la separación entre el cátodo y el ánodo es de $1{,}50\ \text{cm}$, determine el módulo del campo eléctrico que se crea entre uno y otro. Haga un esquema que indique la trayectoria de los electrones y la dirección y el sentido del campo eléctrico. ¿Qué placa se encuentra a un potencial más alto, el ánodo o el cátodo? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) Considerando que un electrón está situado en el cátodo y parte del reposo, determine la energía y el módulo de la velocidad del electrón cuando sale del ánodo. Si la pieza que se ha de soldar se encuentra al mismo potencial que el ánodo, ¿a qué velocidad impacta el electrón contra esta pieza? [1,25 puntos]

Datos: $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Determine el módulo del campo eléctrico entre el cátodo y el ánodo. Haga un esquema de la trayectoria de los electrones y del campo eléctrico. ¿Qué placa está a un potencial más alto? (1,25 puntos)}$










Entre dos placas paralelas el campo eléctrico es uniforme y su módulo es la diferencia de potencial dividida por la separación:

$E=\frac{\Delta V}{d}=\frac{15\cdot10^{3}}{1{,}50\cdot10^{-2}}$

$E=1{,}00\cdot10^{6}\,\text{V/m}$

Los electrones han de acelerarse desde el cátodo hacia el ánodo, así que la fuerza eléctrica sobre ellos apunta en ese sentido.





Como la carga del electrón es negativa, la fuerza y el campo tienen sentidos opuestos:

$\vec F=q\,\vec E=-|e|\,\vec E$

Por tanto, el campo eléctrico va del ánodo hacia el cátodo. Y como el campo apunta siempre hacia los potenciales decrecientes, el ánodo es la placa que está a un potencial más alto, tal como corresponde a una placa que atrae electrones.

$\textbf{b) Determine la energía y el módulo de la velocidad del electrón al salir del ánodo. ¿A qué velocidad impacta contra la pieza? (1,25 puntos)}$

El trabajo que realiza el campo eléctrico sobre el electrón entre las dos placas es:

$W=|q|\,\Delta V=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot15\cdot10^{3}$

$W=2{,}40\cdot10^{-15}\,\text{J}$

Expresada en unidades de física de partículas, esa energía es sencillamente $15\,\text{keV}$.

Como el electrón parte del reposo y solo actúa la fuerza eléctrica, por el teorema de la energía cinética todo ese trabajo se convierte en energía cinética:

$W=\frac12\,m_e\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2W}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot2{,}40\cdot10^{-15}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}$

$v=7{,}26\cdot10^{7}\,\text{m/s}$

Una vez pasado el ánodo, la pieza que se ha de soldar está al mismo potencial que él, de modo que entre el ánodo y la pieza no hay diferencia de potencial y, por tanto, tampoco campo eléctrico. Sobre el electrón no actúa ninguna fuerza y su movimiento es rectilíneo y uniforme:

$v_{\text{impacto}}=7{,}26\cdot10^{7}\,\text{m/s}$

El electrón impacta con la misma velocidad con la que salió del ánodo. Conviene señalar que esa velocidad es casi una cuarta parte de la de la luz, así que un tratamiento riguroso exigiría corregirla relativistamente.