Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Uno de los métodos empleados para detectar exoplanetas (planetas extrasolares) es la observación del tránsito planetario, un fenómeno astronómico que ocurre cuando un planeta pasa por delante de la estrella alrededor de la cual orbita y que se percibe desde la Tierra por la disminución de la luz de la estrella.

El gráfico siguiente muestra la variación de luminosidad provocada por el tránsito de un planeta que describe una órbita circular alrededor de una estrella. Esta estrella tiene una masa prácticamente idéntica a la masa del Sol. Considere que la constante de Kepler de este sistema es igual a la del Sistema Solar.



a) Calcule el período y el radio de la órbita. [1,25 puntos]

b) Determine el módulo de la velocidad y la aceleración centrípeta del planeta. [1,25 puntos]

Dato: radio orbital medio de la Tierra $= 1{,}00\ \text{ua} = 1{,}50\cdot10^{11}\ \text{m}$.

$\textbf{a) Calcule el período y el radio de la órbita. (1,25 puntos)}$

Cada vez que el planeta pasa por delante de la estrella tapa una parte de su disco y la luminosidad que recibimos cae bruscamente. El período orbital es, por tanto, el tiempo que transcurre entre dos caídas consecutivas.

Leyendo el gráfico, los tres tránsitos se producen aproximadamente en $t=0{,}9$, $t=9{,}4$ y $t=17{,}9$ días, de modo que:

$T=8{,}5\ \text{días}=8{,}5\cdot86\,400=7{,}34\cdot10^{5}\,\text{s}$

Como la estrella tiene la masa del Sol, la constante de la tercera ley de Kepler es la misma que la del Sistema Solar:

$\frac{T^2}{r^3}=\frac{T_T^2}{r_T^3}$

Despejando el radio de la órbita del exoplaneta:

$r=r_T\left(\frac{T}{T_T}\right)^{2/3}$

Con el período y el radio orbital de la Tierra:

$T_T=365{,}25\ \text{días}\qquad r_T=1{,}50\cdot10^{11}\ \text{m}$

$r=1{,}50\cdot10^{11}\left(\frac{8{,}5}{365{,}25}\right)^{2/3}$

$r=1{,}22\cdot10^{10}\,\text{m}$

El planeta orbita a $1{,}22\cdot10^{10}\,\text{m}$ de su estrella, algo menos de una décima parte de la distancia Tierra-Sol: se trata de un exoplaneta muy próximo a su estrella, como corresponde a un período de solo $8{,}5$ días.

$\textbf{b) Determine el módulo de la velocidad y la aceleración centrípeta del planeta. (1,25 puntos)}$

Como la órbita es circular y se recorre con celeridad constante, la velocidad es la longitud de la circunferencia dividida por el período:

$v=\frac{2\pi r}{T}=\frac{2\pi\cdot1{,}22\cdot10^{10}}{7{,}34\cdot10^{5}}$

$v=1{,}05\cdot10^{5}\,\text{m/s}$

La aceleración centrípeta de un movimiento circular uniforme es:

$a_c=\frac{v^2}{r}=\frac{\left(1{,}05\cdot10^{5}\right)^{2}}{1{,}22\cdot10^{10}}$

$a_c=0{,}895\,\text{m/s}^2$

El planeta se mueve a unos $105\,\text{km/s}$, tres veces y media más deprisa que la Tierra, con una aceleración centrípeta próxima a la gravedad terrestre en la superficie.