Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2021

Magnificat en re mayor (BWV 243) es una de las grandes obras vocales de Johann Sebastian Bach, publicada en 1723 y escrita para coro a cinco voces y orquesta. La cuerda de un violín mide $32{,}5\ \text{cm}$ de longitud y la frecuencia fundamental correspondiente al re mayor es de $38{,}89\ \text{Hz}$.

a) Dibuje el armónico fundamental y el tercer armónico e indique sus nodos y sus vientres. Determine las longitudes de onda de cada uno de los armónicos y calcule la velocidad de propagación de la onda que produce esta nota en la cuerda del violín. ¿Cuál será la frecuencia del armónico fundamental si reducimos la longitud de la cuerda a $27\ \text{cm}$ manteniendo la misma tensión en la cuerda? [1,25 puntos]

b) Un espectador situado en el segundo piso del Palau de la Música Catalana percibe un nivel de intensidad sonora de $30\ \text{dB}$, correspondiente al sonido de los violines, situados a $23\ \text{m}$. ¿Cuál es la potencia con la que los violines emiten el sonido? Si, debido a las restricciones por la COVID-19, el número de violinistas se reduce a la mitad, ¿cuál será el nivel de la intensidad sonora generada por los violines a $23\ \text{m}$ de distancia? [1,25 puntos]

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$.

$\textbf{a) Dibuje el armónico fundamental y el tercer armónico e indique sus nodos y vientres. Determine sus longitudes de onda y la velocidad de propagación. ¿Cuál será la frecuencia fundamental si se reduce la cuerda a } \boldsymbol{27\ \text{cm}}\textbf{? (1,25 puntos)}$

La cuerda del violín está sujeta por los dos extremos, de modo que en ellos hay siempre nodos. Los modos posibles son aquellos en los que en la cuerda cabe un número entero de semilongitudes de onda:

$L=n\frac{\lambda_n}{2}\Rightarrow \lambda_n=\frac{2L}{n}$



El armónico fundamental tiene un solo vientre y dos nodos, y el tercer armónico tiene tres vientres y cuatro nodos:

$\lambda_1=2L=2\cdot0{,}325=0{,}650\,\text{m}$

$\lambda_3=\frac{2L}{3}=\frac{0{,}650}{3}=0{,}217\,\text{m}$

La velocidad de propagación de la onda en la cuerda se obtiene del armónico fundamental:

$v=\lambda_1\,f_1=0{,}650\cdot38{,}89$

$v=25{,}3\,\text{m/s}$

Al acortar la cuerda manteniendo la misma tensión, la velocidad de propagación no cambia, porque solo depende de la tensión y de la densidad lineal de la cuerda. Lo que cambia es la longitud de onda del fundamental:

$f'_1=\frac{v}{2L'}=\frac{25{,}3}{2\cdot0{,}27}$

$f'_1=46{,}8\,\text{Hz}$

La nota sube, que es exactamente lo que hace el violinista al pisar la cuerda con el dedo.

$\textbf{b) ¿Cuál es la potencia con la que los violines emiten el sonido? Si el número de violinistas se reduce a la mitad, ¿cuál será el nivel de intensidad sonora a } \boldsymbol{23\ \text{m}}\textbf{? (1,25 puntos)}$

Del nivel de intensidad sonora se despeja la intensidad:

$\beta=10\log\frac{I}{I_0}\Rightarrow I=I_0\cdot10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{3}$

$I=1{,}00\cdot10^{-9}\,\text{W/m}^2$

Suponiendo que la energía se reparte por igual sobre superficies esféricas:

$P=I\cdot4\pi r^2=1{,}00\cdot10^{-9}\cdot4\pi\cdot23^{2}$

$P=6{,}65\cdot10^{-6}\,\text{W}$

Si el número de violinistas se reduce a la mitad, la potencia emitida se reduce a la mitad y, con ella, la intensidad que llega al espectador:

$\beta'=10\log\frac{I/2}{I_0}=10\log\frac{I}{I_0}+10\log\frac12=30-3{,}01$

$\beta'=27{,}0\,\text{dB}$

Reducir a la mitad el número de violinistas solo baja el nivel sonoro en $3\,\text{dB}$: la escala logarítmica hace que la pérdida sea mucho menos perceptible de lo que cabría esperar.