Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2021

Un imán se desplaza horizontalmente, entrando y saliendo de una bobina plana (de $N$ espiras y sección $S$), siguiendo un movimiento armónico simple, que crea un campo magnético $\vec B$ perpendicular a la bobina y de módulo $B(t) = B_0\cos(\omega t+\varphi_0)$.

a) Determine el flujo del campo magnético a través de una espira y la fuerza electromotriz (FEM) en función de los parámetros $B_0$, $\omega$, $\varphi_0$, $N$ y $S$. [1,25 puntos]



b) Si la bobina tiene una resistencia $R$, determine la corriente máxima que puede circular por la bobina en función de los parámetros $B_0$, $\omega$, $\varphi_0$, $N$, $S$ y $R$. Indique cuál de las gráficas siguientes (de la A hasta la D) muestra correctamente la FEM si se reduce la frecuencia del movimiento del imán. Justifique la respuesta. [1,25 puntos]



Dato: en todas las gráficas se utiliza la misma escala para el tiempo (eje $x$) y para la FEM (eje $y$).

$\textbf{a) Determine el flujo del campo magnético a través de una espira y la fuerza electromotriz en función de } \boldsymbol{B_0}\textbf{, } \boldsymbol{\omega}\textbf{, } \boldsymbol{\varphi_0}\textbf{, } \boldsymbol{N}\textbf{ y } \boldsymbol{S}\textbf{. (1,25 puntos)}$

El flujo del campo magnético a través de una superficie es:

$\Phi=\vec B\cdot\vec S=B\,S\cos\alpha$

Como el campo es perpendicular a la bobina, el ángulo entre $\vec B$ y el vector superficie es nulo y el coseno vale la unidad:

$\Phi(t)=B_0\,S\cos(\omega t+\varphi_0)$

La fuerza electromotriz inducida viene dada por la ley de Faraday-Lenz, que para una bobina de $N$ espiras es:

$\varepsilon=-N\frac{d\Phi}{dt}$

Derivando el flujo respecto al tiempo:

$\frac{d\Phi}{dt}=-B_0\,S\,\omega\sin(\omega t+\varphi_0)$

$\varepsilon(t)=N\,B_0\,S\,\omega\sin(\omega t+\varphi_0)$

La fuerza electromotriz es también sinusoidal, con la misma frecuencia que el movimiento del imán pero desfasada un cuarto de período respecto del campo, y su amplitud es proporcional a $\omega$.

$\textbf{b) Determine la corriente máxima que puede circular por la bobina. Indique cuál de las gráficas muestra correctamente la FEM si se reduce la frecuencia del movimiento del imán. (1,25 puntos)}$

Aplicando la ley de Ohm a la bobina, de resistencia $R$:

$I(t)=\frac{\varepsilon(t)}{R}=\frac{N\,B_0\,S\,\omega}{R}\sin(\omega t+\varphi_0)$

La corriente es máxima cuando el seno vale la unidad:

$I_{\max}=\frac{N\,B_0\,S\,\omega}{R}$

Obsérvese que no depende de la fase inicial $\varphi_0$, que solo fija el instante en el que se alcanza el máximo.

Si se reduce la frecuencia del movimiento del imán, la pulsación $\omega$ disminuye, y eso tiene dos consecuencias simultáneas:

i) El período de la señal aumenta, de manera que en los mismos $9\ \text{s}$ de la gráfica caben menos oscilaciones.

ii) La amplitud de la fuerza electromotriz, $\varepsilon_{\max}=N B_0 S\,\omega$, es directamente proporcional a $\omega$, así que también disminuye.

Se revisan las cuatro gráficas con estos dos criterios:

Gráfica	Número de oscilaciones	Amplitud	¿Correcta? A	menor	menor	Sí B	menor	mayor	No C	mayor	menor	No D	mayor	mayor	No

La única que cumple las dos condiciones a la vez es la gráfica A: menos oscilaciones en el mismo intervalo y menor amplitud.