Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2021

a) Escriba el número másico, el número atómico y el número de neutrones que tiene el ${}^{13}_{\ 7}\text{N}$. En la desintegración del ${}^{13}_{\ 7}\text{N}$, uno de los protones del núcleo de nitrógeno se transforma según una desintegración $\beta^{+}: {}^{1}_{1}p^{+}\rightarrow{}^{1}_{0}n+{}^{\ 0}_{+1}e^{+}+{}^{0}_{0}\nu$. Escriba la reacción de desintegración del ${}^{13}_{\ 7}\text{N}$. Justifique por qué la desintegración $\beta^{+}$ no puede tener lugar fuera de un núcleo. [1,25 puntos]

b) A partir de la ecuación de la evolución de la desintegración, determine la relación entre la constante de desintegración $\lambda$ y el período de semidesintegración. El período de semidesintegración del ${}^{13}_{\ 7}\text{N}$ es de $9{,}965\ \text{min}$. Si en un instante determinado hay una masa de $5\ \text{ng}$ de ${}^{13}_{\ 7}\text{N}$, ¿qué cantidad quedará al cabo de $30\ \text{min}$? Dé la expresión de la actividad radiactiva en función del tiempo. ¿Cuánto tiempo hay que esperar para que la actividad radiactiva se reduzca hasta un $1\ \%$ de su valor inicial? [1,25 puntos]

Datos: ${}_{4}\text{Be}$, ${}_{5}\text{B}$, ${}_{6}\text{C}$, ${}_{7}\text{N}$, ${}_{8}\text{O}$, ${}_{9}\text{F}$, ${}_{10}\text{Ne}$, ${}_{84}\text{Po}$, ${}_{85}\text{At}$, ${}_{86}\text{Rn}$, ${}_{87}\text{Fr}$, ${}_{88}\text{Ra}$, ${}_{89}\text{Ac}$, ${}_{90}\text{Th}$.

$\textbf{a) Escriba el número másico, el número atómico y el número de neutrones del } \boldsymbol{{}^{13}_{\ 7}\text{N}}\textbf{. Escriba la reacción de desintegración y justifique por qué la desintegración } \boldsymbol{\beta^{+}}\textbf{ no puede tener lugar fuera de un núcleo. (1,25 puntos)}$

Del símbolo del nucleido se leen directamente los dos primeros números, y el tercero es su diferencia:

$A=13\qquad Z=7\qquad N=A-Z=13-7=6\ \text{neutrones}$

En la desintegración $\beta^{+}$ un protón del núcleo se transforma en un neutrón, con emisión de un positrón y un neutrino. El número másico no cambia y el número atómico disminuye una unidad, de modo que el nitrógeno se convierte en carbono:

${}^{13}_{\ 7}\text{N}\rightarrow{}^{13}_{\ 6}\text{C}+{}^{\ 0}_{+1}e^{+}+{}^{0}_{0}\nu$

La desintegración no puede darse con un protón libre por una razón energética. La masa del neutrón es mayor que la del protón, así que la reacción:

${}^{1}_{1}p^{+}\rightarrow{}^{1}_{0}n+{}^{\ 0}_{+1}e^{+}+{}^{0}_{0}\nu$

tiene unos productos cuya masa total supera la del protón inicial. Haría falta aportar energía desde fuera, y un protón aislado en reposo no dispone de ella; por eso el protón libre es estable. Dentro de un núcleo, en cambio, la energía de enlace puede suministrar esa diferencia si el núcleo resultante está más fuertemente ligado, y entonces el proceso sí es posible.

$\textbf{b) Determine la relación entre } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ y el período de semidesintegración. ¿Qué cantidad de } \boldsymbol{{}^{13}_{\ 7}\text{N}}\textbf{ quedará al cabo de } \boldsymbol{30\ \text{min}}\textbf{? ¿Cuánto tiempo hay que esperar para que la actividad se reduzca al } \boldsymbol{1\ \%}\textbf{? (1,25 puntos)}$

La ley de desintegración radiactiva es:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

Por definición, al cabo de un período de semidesintegración queda la mitad de los núcleos:

$\frac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}\Rightarrow \ln\frac12=-\lambda\,T_{1/2}$

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$

Con el período del nitrógeno 13:

$\lambda=\frac{\ln 2}{9{,}965}=6{,}96\cdot10^{-2}\ \text{min}^{-1}=1{,}16\cdot10^{-3}\,\text{s}^{-1}$

Como la masa es proporcional al número de núcleos, decae siguiendo la misma ley:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}=5\,e^{-6{,}96\cdot10^{-2}\cdot30}$

$m=0{,}620\,\text{ng}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo, proporcional al número de núcleos presentes:

$A=\lambda\,N=\lambda\,N_0\,e^{-\lambda t}=A_0\,e^{-\lambda t}$

Para que se reduzca al $1\ \%$ de su valor inicial:

$0{,}01\,A_0=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \lambda t=\ln 100$

$t=\frac{\ln 100}{6{,}96\cdot10^{-2}}=66{,}2\,\text{min}$

Hay que esperar poco más de una hora, que son unos $6{,}6$ períodos de semidesintegración.