Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2021

Un bloque de masa $2\ \text{kg}$, que inicialmente se encuentra en reposo, está unido al extremo de un muelle de constante elástica $300\ \text{N/m}$ y de longitud natural $30\ \text{cm}$. Por el otro extremo, el muelle está unido a una pared. Desplazamos el bloque hacia la derecha hasta que el muelle alcanza una longitud total de $45\ \text{cm}$ y lo soltamos, de manera que el bloque se pone a oscilar alrededor de la posición de equilibrio. La fricción entre el suelo y el bloque es despreciable.



a) Determine la amplitud y el período de la oscilación. Escriba la ecuación del movimiento. [1,25 puntos]

b) Represente la evolución de la energía mecánica, de la energía cinética y de la energía potencial en función del tiempo durante un período. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine la amplitud y el período de la oscilación. Escriba la ecuación del movimiento. (1,25 puntos)}$

La posición de equilibrio es aquella en la que el muelle tiene su longitud natural, $30\ \text{cm}$, porque es allí donde la fuerza elástica se anula. El bloque se suelta desde el reposo cuando el muelle mide $45\ \text{cm}$, de modo que la elongación máxima, es decir, la amplitud, es la diferencia entre ambas longitudes:

$A=45-30=15\ \text{cm}=0{,}15\,\text{m}$

La fuerza que ejerce el muelle es la de la ley de Hooke, y aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton se llega a la ecuación del movimiento armónico simple:

$-k\,x=m\,a\Rightarrow a=-\frac{k}{m}\,x=-\omega^2 x$

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{300}{2}}=12{,}2\,\text{rad/s}$

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{12{,}2}=0{,}513\,\text{s}$

Como el bloque se suelta desde el reposo en la elongación máxima positiva, en el instante inicial $x(0)=+A$ y la fase inicial es nula con la función coseno:

$x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\Rightarrow A=A\cos\varphi_0\Rightarrow \varphi_0=0$

$x(t)=0{,}15\cos(12{,}2\,t)\ \text{m}$

$\textbf{b) Represente la evolución de la energía mecánica, de la energía cinética y de la energía potencial en función del tiempo durante un período. (1,25 puntos)}$

La energía mecánica de un oscilador armónico es constante y coincide con la energía potencial elástica en los extremos:

$E_M=\frac12\,k\,A^2=\frac12\cdot300\cdot0{,}15^{2}$

$E_M=3{,}375\,\text{J}$

La energía potencial elástica en cada instante depende de la elongación:

$E_p(t)=\frac12\,k\,x^2(t)=3{,}375\cos^2(12{,}2\,t)\ \text{J}$

Y la energía cinética es lo que falta hasta la energía mecánica:

$E_c(t)=E_M-E_p(t)=3{,}375\sin^2(12{,}2\,t)\ \text{J}$



Las dos energías oscilan entre $0$ y $3{,}375\,\text{J}$ en oposición de fase y con un período que es la mitad del período del movimiento, porque dependen del cuadrado de funciones sinusoidales. Su suma es en todo instante la energía mecánica, que se mantiene constante porque no hay rozamiento.