Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Gracias a los valiosos datos sobre las posiciones de los astros que Tycho Brahe recogió a lo largo de su vida, Johannes Kepler pudo formular sus famosas tres leyes.

a) Deduzca la tercera ley de Kepler a partir de la segunda ley de Newton y de la ley de gravitación universal, suponiendo que los planetas describen movimientos circulares uniformes. [1,25 puntos]

b) A partir de los datos de la tabla, determine la masa del Sol. [1,25 puntos]

Planeta	$\text{Radio de la órbita }(10^{9}\ \text{m})$	$\text{Período (años)}$ Mercurio	57,90	0,240 8 Venus	108,2	0,615 2 Tierra	149,6	1,000 Marte	228,0	1,881

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Deduzca la tercera ley de Kepler a partir de la segunda ley de Newton y de la ley de gravitación universal, suponiendo que los planetas describen movimientos circulares uniformes. (1,25 puntos)}$

La única fuerza que actúa sobre un planeta es la atracción gravitatoria del Sol, dada por la ley de la gravitación universal:

$F=G\frac{M\,m}{r^2}$

Si el movimiento es circular uniforme, esa fuerza es la fuerza centrípeta, y aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$F=m\,a_c=m\,\frac{v^2}{r}$

Igualando ambas expresiones y simplificando la masa del planeta:

$G\frac{M}{r^2}=\frac{v^2}{r}$

Se expresa ahora la velocidad en función del período, ya que el planeta recorre la circunferencia completa en un tiempo $T$:

$v=\frac{2\pi r}{T}$

$G\frac{M}{r^2}=\frac{4\pi^2 r^2}{T^2\,r}=\frac{4\pi^2 r}{T^2}$

Y despejando:

$T^2=\frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$

Esta es la tercera ley de Kepler: el cuadrado del período es proporcional al cubo del radio de la órbita, y la constante de proporcionalidad solo depende de la masa del astro central, no del planeta.

$\textbf{b) A partir de los datos de la tabla, determine la masa del Sol. (1,25 puntos)}$

Despejando la masa central de la expresión anterior:

$M=\frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}$

Se toman los datos de la Tierra y se pasan a unidades del Sistema Internacional:

$r=149{,}6\cdot10^{9}=1{,}496\cdot10^{11}\,\text{m}$

$T=1{,}000\ \text{años}\cdot\frac{365{,}25\cdot86\,400\ \text{s}}{1\ \text{año}}=3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$

$M=\frac{4\pi^2\left(1{,}496\cdot10^{11}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\left(3{,}156\cdot10^{7}\right)^{2}}$

$M=1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}$

Cualquiera de los otros tres planetas da el mismo resultado, y eso es precisamente lo que confirma la tercera ley de Kepler: con Mercurio se obtiene $1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}$, con Venus $1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}$ y con Marte $1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}$.

La masa del Sol es, por tanto, de unos $1{,}99\cdot10^{30}\,\text{kg}$.