Ejercicio resuelto de Física moderna · Física · Cataluña · 2022

A principios de los años sesenta del siglo XX, los físicos Robert Pound, Glen Anderson Rebka y Joseph Snider verificaron en el Jefferson Physical Laboratory de Harvard la predicción de Einstein de que la gravedad cambia la frecuencia de la luz. Entender este efecto es esencial para la navegación moderna, como por ejemplo para el funcionamiento del GPS. El experimento consistía en medir la variación de frecuencia de unos fotones entre dos puntos a diferente altura.

a) Calcule la frecuencia, la masa (véase la nota) y la cantidad de movimiento de los fotones en el suelo del laboratorio del experimento si tienen una energía de $14{,}4\ \text{keV}$. [1,25 puntos]

b) La energía mecánica de los fotones es la suma de la energía de los fotones y de la energía potencial gravitatoria. A partir del principio de conservación de la energía mecánica, calcule la variación (en valor absoluto) de la energía y de la frecuencia de los fotones entre dos puntos separados verticalmente $22{,}6\ \text{m}$. Es decir, entre el suelo del laboratorio y otro punto en la misma vertical, $22{,}6\ \text{m}$ más arriba. ¿En qué punto tiene el fotón una frecuencia mayor, cuando se encuentra en el suelo o cuando está $22{,}6\ \text{m}$ por encima del suelo? [1,25 puntos]

Nota: aunque la masa en reposo de un fotón es cero, su masa efectiva cuando es atraído por las otras masas es: $m = \dfrac{E_{\text{fotón}}}{c^2}$.

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J s}$; $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

$\textbf{a) Calcule la frecuencia, la masa y la cantidad de movimiento de los fotones en el suelo del laboratorio si tienen una energía de } \boldsymbol{14{,}4\ \text{keV}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Se expresa primero la energía en unidades del Sistema Internacional:

$E=14{,}4\ \text{keV}=14{,}4\cdot10^{3}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}$

$E=2{,}31\cdot10^{-15}\,\text{J}$

La energía de un fotón está ligada a su frecuencia por la relación de Planck:

$E=h\,f\Rightarrow f=\frac{E}{h}=\frac{2{,}31\cdot10^{-15}}{6{,}63\cdot10^{-34}}$

$f=3{,}48\cdot10^{18}\,\text{Hz}$

Se trata de radiación gamma, como corresponde a la emisión del hierro 57 que se usó en el experimento.

La masa efectiva es la que corresponde a esa energía según la equivalencia masa-energía de Einstein:

$m=\frac{E}{c^2}=\frac{2{,}31\cdot10^{-15}}{\left(3{,}00\cdot10^{8}\right)^{2}}$

$m=2{,}56\cdot10^{-32}\,\text{kg}$

Y la cantidad de movimiento, para una partícula sin masa en reposo:

$p=\frac{E}{c}=\frac{2{,}31\cdot10^{-15}}{3{,}00\cdot10^{8}}$

$p=7{,}69\cdot10^{-24}\,\text{kg m/s}$

$\textbf{b) Calcule la variación de la energía y de la frecuencia de los fotones entre dos puntos separados verticalmente } \boldsymbol{22{,}6\ \text{m}}\textbf{. ¿Dónde tiene el fotón una frecuencia mayor? (1,25 puntos)}$

Según el enunciado, la energía mecánica del fotón es la suma de su energía propia y de su energía potencial gravitatoria, y se conserva a lo largo del recorrido:

$E_{\text{suelo}}+m\,g\,h_{\text{suelo}}=E_{\text{arriba}}+m\,g\,h_{\text{arriba}}$

Tomando el suelo como origen de alturas:

$E_{\text{suelo}}=E_{\text{arriba}}+m\,g\,h$

$|\Delta E|=m\,g\,h$

Se usa la masa efectiva calculada en el apartado anterior:

$|\Delta E|=2{,}56\cdot10^{-32}\cdot9{,}81\cdot22{,}6$

$|\Delta E|=5{,}68\cdot10^{-30}\,\text{J}$

La variación de frecuencia se obtiene de la relación de Planck:

$|\Delta E|=h\,|\Delta f|\Rightarrow |\Delta f|=\frac{5{,}68\cdot10^{-30}}{6{,}63\cdot10^{-34}}$

$|\Delta f|=8{,}57\cdot10^{3}\,\text{Hz}$

El fotón tiene mayor frecuencia en el suelo. Al subir, parte de su energía se invierte en ganar energía potencial gravitatoria, de modo que su energía propia disminuye y, con ella, su frecuencia: la luz se desplaza hacia el rojo.

El efecto es minúsculo en términos relativos:

$\frac{|\Delta f|}{f}=\frac{|\Delta E|}{E}=\frac{5{,}68\cdot10^{-30}}{2{,}31\cdot10^{-15}}=2{,}46\cdot10^{-15}$

Medir una variación de esa magnitud fue precisamente la proeza experimental de Pound y Rebka, y es la misma corrección que hay que aplicar a los relojes de los satélites del GPS.