Ejercicio resuelto de Campo electromagnético · Física · 2022

Considere un pequeño generador eléctrico doméstico que está formado por una bobina que puede girar cortando las líneas de campo magnético de un imán fijo. Este generador produce la corriente alterna representada en el gráfico siguiente:



a) A partir del gráfico, deduzca la frecuencia de giro de la bobina (en Hz) y el valor de la intensidad máxima $I_{\text{máx}}$. Escriba la función $I(t)$ que describe la relación entre la intensidad y el tiempo que muestra el gráfico. [1,25 puntos]

b) Para poder conectar electrodomésticos a este generador eléctrico, disponemos de un transformador. Conectamos esta corriente alterna al primario de un transformador. La bobina del primario del transformador tiene 124 vueltas. Calcule el número de vueltas que son necesarias en la bobina del secundario para obtener una FEM eficaz $(\varepsilon_{\text{ef}})$ de $220\ \text{V}$. Suponga que se trata de un transformador ideal. ¿Se trata de un transformador elevador o reductor? [1,25 puntos]

$\textbf{a) A partir del gráfico, deduzca la frecuencia de giro de la bobina y el valor de } \boldsymbol{I_{\text{máx}}}\textbf{. Escriba la función } \boldsymbol{I(t)}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Del gráfico se lee directamente el valor máximo de la intensidad:

$I_{\text{máx}}=3{,}0\,\text{A}$

El período es el tiempo que tarda la señal en repetirse. Entre dos máximos consecutivos, por ejemplo entre $t=0{,}005\ \text{s}$ y $t=0{,}025\ \text{s}$, transcurre:

$T=0{,}020\,\text{s}$

$f=\frac{1}{T}=\frac{1}{0{,}020}=50\,\text{Hz}$

$\omega=2\pi f=100\pi=314\,\text{rad/s}$

La bobina gira, por tanto, a 50 vueltas por segundo, que es la frecuencia de la red eléctrica europea.

En el instante inicial la intensidad es nula y creciente, así que la función es un seno sin fase inicial:

$I(t)=I_{\text{máx}}\sin(\omega t)$

$I(t)=3{,}0\sin(100\pi\,t)\ \text{A}$

$\textbf{b) Calcule el número de vueltas necesarias en el secundario para obtener una FEM eficaz de } \boldsymbol{220\ \text{V}}\textbf{. ¿Se trata de un transformador elevador o reductor? (1,25 puntos)}$

En un transformador ideal el flujo magnético que atraviesa cada espira es el mismo en las dos bobinas, de modo que las fuerzas electromotrices son proporcionales al número de vueltas:

$\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}=\frac{N_2}{N_1}\Rightarrow N_2=N_1\,\frac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1}$

Los valores eficaces de una magnitud alterna sinusoidal son los máximos divididos por la raíz de dos:

$X_{\text{ef}}=\frac{X_{\text{máx}}}{\sqrt2}$

El enunciado da la amplitud de la señal que produce el generador, cuyo valor eficaz es:

$\varepsilon_{1,\text{ef}}=\frac{3{,}0}{\sqrt2}=2{,}12\,\text{V}$

Sustituyendo:

$N_2=124\cdot\frac{220}{2{,}12}$

$N_2=1{,}29\cdot10^{4}\ \text{vueltas}$

Hacen falta unas $12\,900$ vueltas en el secundario.

Se trata de un transformador elevador, porque el secundario tiene muchas más vueltas que el primario y la fuerza electromotriz de salida es muy superior a la de entrada. Como la potencia se conserva, la intensidad en el secundario será, en la misma proporción, mucho menor que en el primario.