Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2022

Para medir la concentración de radón de una habitación, se toma una muestra de $180\ \text{cm}^3$ de aire. Se coloca la muestra dentro de un detector que cuenta el número total de desintegraciones $\alpha$. Consideramos que todas las desintegraciones provienen del radón 222, ${}^{222}_{\ 86}\text{Rn}$. Se efectúa una medición de las desintegraciones durante 10 minutos cada día, 10 días seguidos, y siempre a la misma hora. Los datos obtenidos son los siguientes:

$t\ \text{(días)}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9 $N\ \text{(núcleos desintegrados)}$	130	108	91	77	65	55	45	38	33	30

a) Represente los núcleos desintegrados en función del tiempo. A partir de la gráfica determine el período de semidesintegración. Teniendo en cuenta que la evolución temporal del número de núcleos desintegrados es la misma que la del número total de núcleos de radón en la habitación, calcule la constante de desintegración. [1,25 puntos]

b) Teniendo en cuenta que una medición dura 10 minutos, ¿qué actividad tiene la muestra de $180\ \text{cm}^3$ de aire de la habitación el día $t = 0$? La Agencia de Protección Ambiental de los Estados Unidos (EPA) recomienda no sobrepasar la actividad de $4\ \text{pCi}$ por litro de aire. Según este límite, ¿es peligrosa la concentración en $t = 0$ en la habitación de donde se ha extraído la muestra? [1,25 puntos]

Dato: $1\ \text{Ci} = 3{,}70\cdot10^{10}\ \text{Bq}$.

$\textbf{a) Represente los núcleos desintegrados en función del tiempo, determine a partir de la gráfica el período de semidesintegración y calcule la constante de desintegración. (1,25 puntos)}$










Los puntos se ajustan a una curva exponencial decreciente, tal como corresponde a la ley de desintegración radiactiva.

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda el recuento en reducirse a la mitad. Se parte de $130$ desintegraciones y se busca cuándo hay $65$:

$T_{1/2}\simeq4\ \text{días}$





La constante de desintegración se obtiene de la relación con el período de semidesintegración:

$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{4}=0{,}173\ \text{días}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\frac{0{,}173}{86\,400}=2{,}01\cdot10^{-6}\,\text{s}^{-1}$

$\textbf{b) ¿Qué actividad tiene la muestra de } \boldsymbol{180\ \text{cm}^3}\textbf{ de aire el día } \boldsymbol{t=0}\textbf{? Según el límite de la EPA, ¿es peligrosa la concentración de la habitación? (1,25 puntos)}$

La actividad es el número de desintegraciones por unidad de tiempo. El día $t=0$ se contaron $130$ desintegraciones en $10$ minutos:

$A_0=\frac{130}{10\cdot60}=0{,}217\,\text{Bq}$

Esa es la actividad de la muestra de $180\ \text{cm}^3$. Referida a un litro de aire:

$\frac{A_0}{V}=\frac{0{,}217}{0{,}180}=1{,}20\,\text{Bq/L}$

El límite que recomienda la EPA, expresado en las mismas unidades, es:

$4\ \text{pCi}=4\cdot10^{-12}\ \text{Ci}\cdot\frac{3{,}70\cdot10^{10}\ \text{Bq}}{1\ \text{Ci}}=0{,}148\,\text{Bq}$

es decir, $0{,}148\,\text{Bq/L}$.

Comparando ambos valores:

$\frac{1{,}20}{0{,}148}=8{,}1$

La concentración de la habitación es unas ocho veces superior al límite recomendado, así que sí es peligrosa y habría que ventilar y sellar las entradas de gas del subsuelo.