Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2022

Dos hilos conductores rectilíneos muy largos se encuentran situados paralelos al eje $z$ (perpendiculares al plano $xy$) y separados una distancia de $16{,}0\ \text{cm}$. Por el hilo 1 circula una corriente $I_1 = 1{,}50\ \text{A}$ dirigida hacia abajo y por el hilo 2 circula una corriente $I_2 = 1{,}50\ \text{A}$ dirigida hacia arriba.



a) Dado un punto $P$ situado en el plano $xy$ y equidistante de los dos hilos (la distancia a cada hilo es de $10{,}0\ \text{cm}$), haga un esquema sobre el plano $xy$ del campo magnético creado por cada hilo en el punto $P$ y justifique la dirección y el sentido del campo. ¿Cuál es el sentido y la dirección del campo magnético total en el punto $P$? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que hace el hilo 1 sobre el hilo 2, es decir, la fuerza que hace el hilo 1 sobre un tramo de $1{,}00\ \text{m}$ de longitud del hilo 2. Indique tanto el módulo como la dirección y el sentido de la fuerza. [1,25 puntos]

Datos: el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$.

$\textbf{a) Haga un esquema sobre el plano } \boldsymbol{xy}\textbf{ del campo magnético creado por cada hilo en } \boldsymbol{P}\textbf{ y justifique su dirección y su sentido. ¿Cuál es el campo magnético total en } \boldsymbol{P}\textbf{? (1,25 puntos)}$










En el plano $xy$ la corriente $I_1$ es entrante y la $I_2$, saliente.

Aplicando la regla de la mano derecha a cada hilo, el campo que crea es tangente a la circunferencia que pasa por $P$ y está centrada en el hilo, es decir, perpendicular a la recta que une el hilo con $P$.

Con $I_1$ entrante, $\vec B_1$ gira en sentido horario alrededor del hilo 1; con $I_2$ saliente, $\vec B_2$ gira en sentido antihorario alrededor del hilo 2.





Como $P$ equidista de los dos hilos, los dos campos tienen el mismo módulo:

$B_1=B_2=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1{,}50}{2\pi\cdot0{,}100}$

$B_1=B_2=3{,}00\cdot10^{-6}\,\text{T}$

El triángulo que forman los dos hilos y el punto $P$ es isósceles, con base $16{,}0\ \text{cm}$ y lados $10{,}0\ \text{cm}$, de modo que la altura vale:

$d=\sqrt{10{,}0^2-8{,}0^2}=6{,}0\,\text{cm}$

Con ello, los vectores unitarios que van de cada hilo a $P$ son $(0{,}6,\,0{,}8)$ y $(0{,}6,\,-0{,}8)$ en el plano $xy$, y los campos resultan:

$\vec B_1=3{,}00\cdot10^{-6}\left(0{,}8\,\vec{\imath}-0{,}6\,\vec{\jmath}\right)\ \text{T}$

$\vec B_2=3{,}00\cdot10^{-6}\left(0{,}8\,\vec{\imath}+0{,}6\,\vec{\jmath}\right)\ \text{T}$

Por el principio de superposición, las componentes según $\vec{\jmath}$ se cancelan y las componentes según $\vec{\imath}$ se suman:

$\vec B_P=\vec B_1+\vec B_2=4{,}80\cdot10^{-6}\,\vec{\imath}\ \text{T}$

El campo total en $P$ tiene módulo $4{,}80\cdot10^{-6}\,\text{T}$, dirección la del eje $X$, es decir, perpendicular a la recta que une los dos hilos, y sentido el que se aleja de esa recta pasando por $P$.

$\textbf{b) Calcule la fuerza por unidad de longitud que hace el hilo 1 sobre el hilo 2. Indique el módulo, la dirección y el sentido. (1,25 puntos)}$

El hilo 1 crea en la posición del hilo 2 un campo magnético de módulo:

$B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1{,}50}{2\pi\cdot0{,}160}=1{,}875\cdot10^{-6}\,\text{T}$

Sobre un tramo de longitud $L$ del hilo 2, por el que circula $I_2$, ese campo ejerce la fuerza de Laplace. Como el hilo y el campo son perpendiculares:

$\frac{F}{L}=I_2\,B_1=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$

$\frac{F}{L}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1{,}50\cdot1{,}50}{2\pi\cdot0{,}160}$

$\frac{F}{L}=2{,}81\cdot10^{-6}\,\text{N/m}$

Para un tramo de $1{,}00\ \text{m}$, la fuerza vale $2{,}81\cdot10^{-6}\,\text{N}$.

En cuanto al sentido: las dos corrientes son antiparalelas, y dos corrientes de sentidos opuestos se repelen. Por tanto, la fuerza sobre el hilo 2 tiene la dirección de la recta que une los dos hilos, es decir, la del eje $Y$, y sentido el que aleja el hilo 2 del hilo 1.