Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2022

El volcán Cumbre Vieja entró en erupción el 19 de septiembre de 2021 en la isla de La Palma. El sonido de la erupción volcánica fue medido por un equipo de vulcanólogos, que detectaron que estaba formado por diferentes frecuencias y que tenía un nivel de intensidad sonora variable. Por lo que se refiere al sonido que produce en algunos momentos de la erupción, un volcán se puede modelizar como si fuese un instrumento musical de viento gigante. De una manera simplificada, podemos considerar un volcán como un tubo de aire con un extremo cerrado y el otro abierto, donde se producen ondas estacionarias de una manera semejante a una trompeta.

a) En un momento determinado de la erupción del Cumbre Vieja, se detectó que la frecuencia fundamental del sonido que emitía era de $5{,}40\ \text{Hz}$. Calcule la longitud de onda de este sonido. Dibuje el perfil de la onda estacionaria correspondiente y calcule la longitud del tubo, que corresponde a la longitud del tramo de la chimenea lleno de aire. [1,25 puntos]

b) En un momento de la erupción, se detectó un nivel de intensidad sonora de $72{,}0\ \text{dB}$ en la localidad de Todoque, que está a $5{,}22\ \text{km}$ del cono del volcán. Calcule el nivel de intensidad sonora que se sentirá desde la costa de la isla de El Hierro, que está a $92{,}3\ \text{km}$ del volcán Cumbre Vieja. (Suponga que no hay obstáculos en la propagación del sonido entre el volcán Cumbre Vieja y la isla de El Hierro.) [1,25 puntos]

Datos: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340\ \text{m/s}$.

$\textbf{a) Calcule la longitud de onda del sonido de frecuencia fundamental } \boldsymbol{5{,}40\ \text{Hz}}\textbf{. Dibuje el perfil de la onda estacionaria y calcule la longitud del tubo. (1,25 puntos)}$

La longitud de onda se obtiene de la relación entre la velocidad de propagación y la frecuencia:

$\lambda=\frac{v}{f}=\frac{340}{5{,}40}$

$\lambda=63{,}0\,\text{m}$










El volcán se modeliza como un tubo con un extremo cerrado, el fondo de la chimenea, y el otro abierto, el cráter. La onda estacionaria ha de tener un nodo en el extremo cerrado, donde el aire no puede moverse, y un vientre en el abierto, donde la amplitud es máxima.

El modo fundamental es el que solo tiene un nodo y un vientre, de manera que en el tubo cabe exactamente un cuarto de longitud de onda.





$L=\frac{\lambda}{4}=\frac{63{,}0}{4}$

$L=15{,}7\,\text{m}$

El tramo de chimenea lleno de aire mide unos $15{,}7\,\text{m}$.

$\textbf{b) Calcule el nivel de intensidad sonora que se sentirá desde la costa de la isla de El Hierro, a } \boldsymbol{92{,}3\ \text{km}}\textbf{ del volcán. (1,25 puntos)}$

El volcán se comporta como un foco puntual: la misma potencia se reparte sobre esferas cada vez mayores, de modo que la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia:

$\frac{I_2}{I_1}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$

Se lleva esa relación a la definición de nivel de intensidad sonora:

$\beta_2-\beta_1=10\log\frac{I_2}{I_1}=10\log\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2=20\log\frac{r_1}{r_2}$

$\beta_2=72{,}0+20\log\frac{5{,}22}{92{,}3}$

$\beta_2=72{,}0-24{,}9=47{,}1\,\text{dB}$

En la costa de El Hierro se percibirían unos $47{,}1\,\text{dB}$. La distancia se multiplica por casi $18$ y el nivel solo baja $25\,\text{dB}$, lo que da idea de lo comprimida que está la escala logarítmica.