Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2022

En la figura adjunta hemos situado una carga puntual $Q = +1{,}00\ \text{nC}$ en el origen de coordenadas.



a) Determine a qué distancia de la carga el potencial es igual a $3{,}00\ \text{V}$, $6{,}00\ \text{V}$, $9{,}00\ \text{V}$ y $12{,}0\ \text{V}$, respectivamente. Represente dentro de la figura las líneas equipotenciales correspondientes a los potenciales de $3{,}00\ \text{V}$, $6{,}00\ \text{V}$, $9{,}00\ \text{V}$ y $12{,}0\ \text{V}$. Diga si la distancia entre las líneas equipotenciales es constante y cuánto vale o valen estas distancias. [1,25 puntos]

b) En la misma figura, represente 8 líneas de campo eléctrico. ¿Qué ángulo forman las líneas de campo con las líneas equipotenciales en el punto donde se cruzan? [1,25 puntos]

Dato: $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \simeq 9{,}00\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine a qué distancia de la carga el potencial vale } \boldsymbol{3{,}00}\textbf{, } \boldsymbol{6{,}00}\textbf{, } \boldsymbol{9{,}00}\textbf{ y } \boldsymbol{12{,}0\ \text{V}}\textbf{. Represente las líneas equipotenciales y diga si la distancia entre ellas es constante. (1,25 puntos)}$

El potencial creado por una carga puntual a una distancia $r$ es:

$V=k\frac{Q}{r}\Rightarrow r=k\frac{Q}{V}$

Se sustituye para cada valor del potencial:

$r_1=\frac{9{,}00\cdot10^{9}\cdot1{,}00\cdot10^{-9}}{3{,}00}=3{,}00\,\text{m}$

$r_2=\frac{9{,}00\cdot10^{9}\cdot1{,}00\cdot10^{-9}}{6{,}00}=1{,}50\,\text{m}$

$r_3=\frac{9{,}00\cdot10^{9}\cdot1{,}00\cdot10^{-9}}{9{,}00}=1{,}00\,\text{m}$

$r_4=\frac{9{,}00\cdot10^{9}\cdot1{,}00\cdot10^{-9}}{12{,}0}=0{,}750\,\text{m}$

Como el potencial solo depende de la distancia, las superficies equipotenciales son esferas centradas en la carga, que en el plano de la figura se ven como circunferencias.

Las distancias entre equipotenciales consecutivas son:

$r_1-r_2=3{,}00-1{,}50=1{,}50\,\text{m}$

$r_2-r_3=1{,}50-1{,}00=0{,}50\,\text{m}$

$r_3-r_4=1{,}00-0{,}750=0{,}25\,\text{m}$

No son constantes: las equipotenciales se juntan al acercarse a la carga. Es lo esperable, porque el potencial es inversamente proporcional a la distancia y no una función lineal de ella; allí donde las equipotenciales están más juntas el campo es más intenso.

$\textbf{b) Represente 8 líneas de campo eléctrico. ¿Qué ángulo forman las líneas de campo con las líneas equipotenciales en el punto donde se cruzan? (1,25 puntos)}$










Como la carga es positiva, las líneas de campo son radiales y salen de ella. En la figura se han dibujado ocho, separadas $45^\circ$, junto con las cuatro equipotenciales del apartado anterior en trazo discontinuo.

Las líneas de campo son perpendiculares a las superficies equipotenciales en todos sus puntos, así que forman un ángulo de $90^\circ$.





La razón es que, al desplazarse sobre una superficie equipotencial, el potencial no varía y el trabajo del campo es nulo:

$W=q\,\Delta V=0\Rightarrow \vec F\cdot d\vec r=0$

y un producto escalar nulo entre dos vectores no nulos significa que son perpendiculares.