Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

En marzo de 2021 se lanzó al espacio el primer nanosatélite de la Generalitat de Cataluña. Los nanosatélites tienen como función mejorar las comunicaciones, controlar los caudales de los cursos de agua y prevenir incendios. También contribuyen a la investigación y realización de misiones espaciales más ágiles y económicas. Estos nanosatélites suelen orbitar a unos $500\ \text{km}$ de altura (distancia respecto a la superficie de la Tierra).

a) Suponiendo que la órbita de uno de estos nanosatélites es circular, a partir de la ley de la gravitación universal deduzca la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital. Calcule también la velocidad y el período orbitales de estos nanosatélites. [1,25 puntos]

b) Partiendo de la ley de la conservación de la energía mecánica (desprecie la fuerza de rozamiento), deduzca la expresión de la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita un satélite en función del radio orbital. Calcule la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita el nanosatélite a $500\ \text{km}$ de altura. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; $R_{\text{Tierra}} = 6{,}37\cdot10^{3}\ \text{km}$.

$\textbf{a) Deduzca la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital. Calcule la velocidad y el período orbitales de estos nanosatélites. (1,25 puntos)}$

La única fuerza que actúa sobre el nanosatélite es la atracción gravitatoria de la Tierra, y como la órbita es circular esa fuerza hace de fuerza centrípeta. Aplicando la ley de la gravitación universal y el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}$

Simplificando la masa del satélite y despejando la velocidad:

$v=\sqrt{\frac{G\,M}{r}}$

El radio orbital se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a la altura:

$r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+5{,}00\cdot10^{5}=6{,}87\cdot10^{6}\,\text{m}$

$v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}}{6{,}87\cdot10^{6}}}$

$v=7{,}62\cdot10^{3}\,\text{m/s}$

El período es el tiempo que tarda en recorrer la circunferencia completa:

$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\cdot6{,}87\cdot10^{6}}{7{,}62\cdot10^{3}}$

$T=5{,}67\cdot10^{3}\,\text{s}=94{,}4\ \text{min}$

El nanosatélite da, por tanto, algo más de quince vueltas a la Tierra cada día.

$\textbf{b) Deduzca la expresión de la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita un satélite en función del radio orbital. Calcule su valor para } \boldsymbol{500\ \text{km}}\textbf{ de altura. (1,25 puntos)}$

Como se desprecia el rozamiento, la única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa, y la energía mecánica se conserva entre la superficie y la órbita:

$\frac12\,m\,v_l^2-G\frac{M\,m}{R_T}=\frac12\,m\,v^2-G\frac{M\,m}{r}$

Del apartado anterior se conoce la velocidad orbital, así que se sustituye $v^2=\dfrac{GM}{r}$:

$\frac12\,v_l^2-\frac{G\,M}{R_T}=\frac{G\,M}{2r}-\frac{G\,M}{r}=-\frac{G\,M}{2r}$

$\frac12\,v_l^2=\frac{G\,M}{R_T}-\frac{G\,M}{2r}$

$v_l=\sqrt{G\,M\left(\frac{2}{R_T}-\frac{1}{r}\right)}$

Sustituyendo los datos:

$v_l=\sqrt{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}98\cdot10^{24}\left(\frac{2}{6{,}37\cdot10^{6}}-\frac{1}{6{,}87\cdot10^{6}}\right)}$

$v_l=8{,}20\cdot10^{3}\,\text{m/s}$

Hace falta lanzarlo a $8{,}20\,\text{km/s}$, algo más de la velocidad que tendrá una vez en órbita: la diferencia es la energía que se invierte en ganar altura.