Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2022

Para identificar los instrumentos musicales se puede utilizar un espectro de frecuencias. En la figura siguiente se representa el espectro de un instrumento que se quiere identificar. El oboe es un instrumento que tiene un extremo abierto y un extremo cerrado que es la embocadura con una caña. En el extremo abierto, la amplitud de la vibración de las moléculas es máxima: tenemos un vientre. En cambio, en el otro extremo, el tudel por donde se sopla es una caña que comunica presión al aire e impide que este se pueda mover con libertad: es un nodo. Por otra parte, en un piano las cuerdas están sujetas por los dos extremos, es decir, los dos extremos de la cuerda son nodos.



a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de este espectro? Determine si se trata de un oboe o de un piano, y justifique la respuesta. Determine también la longitud del tubo o de la cuerda. [1,25 puntos]

b) Un quinteto de viento suele estar formado por cinco instrumentistas, normalmente flauta travesera, oboe, clarinete, trompa y fagot. Al inicio de la interpretación de una composición los 5 tocan de forma suave y con la misma intensidad, generando un nivel de intensidad sonora de $80\ \text{dB}$ a un espectador que se encuentra a una distancia de $1{,}5\ \text{m}$. ¿Cuál es la potencia sonora de cada instrumento? Suponga que esta potencia se distribuye uniformemente por toda el área de una semiesfera. [1,25 puntos]

Datos: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340\ \text{m s}^{-1}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es la frecuencia fundamental de este espectro? Determine si se trata de un oboe o de un piano y justifique la respuesta. Determine también la longitud del tubo o de la cuerda. (1,25 puntos)}$

En el espectro solo aparecen dos picos, situados en:

$f_1=440\ \text{Hz}\qquad f_2=1\,320\ \text{Hz}$

El primero es la frecuencia fundamental, es decir, la del primer armónico. El cociente entre ambos es:

$\frac{f_2}{f_1}=\frac{1\,320}{440}=3$

El segundo pico corresponde al tercer armónico. Que aparezca el tercero y no el segundo es la firma de un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro: la condición de vientre en un extremo y nodo en el otro solo admite armónicos impares.

En una cuerda sujeta por los dos extremos, en cambio, los dos extremos son nodos y se pueden dar todos los armónicos, pares e impares. Como el segundo armónico $(880\ \text{Hz})$ no aparece, el instrumento es un oboe y no un piano.

Para un tubo cerrado por un extremo, la longitud del tubo es un cuarto de la longitud de onda del fundamental:

$L=\frac{\lambda_1}{4}=\frac{v}{4f_1}=\frac{340}{4\cdot440}$

$L=0{,}193\,\text{m}=19{,}3\,\text{cm}$

$\textbf{b) ¿Cuál es la potencia sonora de cada instrumento? Suponga que la potencia se distribuye uniformemente por toda el área de una semiesfera. (1,25 puntos)}$

Del nivel de intensidad sonora se despeja la intensidad total que llega al espectador:

$\beta=10\log\frac{I}{I_0}\Rightarrow I=I_0\cdot10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{8}$

$I=1{,}00\cdot10^{-4}\,\text{W/m}^2$

La energía se reparte por la superficie de una semiesfera de radio $1{,}5\ \text{m}$, cuya área es la mitad de la de la esfera completa:

$S=\frac{4\pi r^2}{2}=2\pi r^2=2\pi\cdot1{,}5^{2}=14{,}1\,\text{m}^2$

$P_{\text{total}}=I\,S=1{,}00\cdot10^{-4}\cdot14{,}1=1{,}41\cdot10^{-3}\,\text{W}$

Como los cinco instrumentos suenan con la misma intensidad, la potencia total se reparte por igual:

$P=\frac{P_{\text{total}}}{5}=\frac{1{,}41\cdot10^{-3}}{5}$

$P=2{,}83\cdot10^{-4}\,\text{W}$

Cada instrumento emite unos $0{,}28\,\text{mW}$ de potencia sonora, un valor sorprendentemente pequeño que refleja lo sensible que es el oído humano.