Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2022

El gas radón es una de las fuentes de radiactividad natural más abundantes de la Tierra. El radón proviene de la descomposición de elementos radiactivos naturales (como el uranio y el torio). El gas se difunde a través del suelo hasta llegar a la superficie. La cadena de desintegración del radón ${}^{222}_{\ 86}\text{Rn}$ incluye ocho desintegraciones radiactivas, hasta que se forma el isótopo estable del plomo ${}^{206}_{\ 82}\text{Pb}$. En la figura siguiente se representan los núcleos que forman parte de esta cadena de desintegración nuclear. Al lado de cada núcleo se indica su período de semidesintegración.



a) Escriba las reacciones nucleares que permiten llegar al ${}^{206}_{\ 82}\text{Pb}$ a partir del ${}^{222}_{\ 86}\text{Rn}$. [1,25 puntos]

b) El gráfico siguiente corresponde a la evolución de los núcleos de una de las desintegraciones radiactivas de la cadena del radón. La muestra estudiada inicialmente tenía $8{,}00\cdot10^{23}$ núcleos. A partir del gráfico, determine cuál es el período de semidesintegración de la muestra, y razone a qué núcleo de la cadena corresponde. Con este dato calcule cuántos días han de pasar hasta que se hayan desintegrado $7{,}95\cdot10^{23}$ átomos. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Escriba las reacciones nucleares que permiten llegar al } \boldsymbol{{}^{206}_{\ 82}\text{Pb}}\textbf{ a partir del } \boldsymbol{{}^{222}_{\ 86}\text{Rn}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Se recorre la cadena de la figura comparando en cada paso el número másico y el número atómico. Si el número másico baja cuatro unidades y el atómico dos, la desintegración es alfa; si el másico no cambia y el atómico sube una unidad, es beta negativa.

${}^{222}_{\ 86}\text{Rn}\rightarrow{}^{218}_{\ 84}\text{Po}+{}^{4}_{2}\text{He}$

${}^{218}_{\ 84}\text{Po}\rightarrow{}^{214}_{\ 82}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He}$

${}^{214}_{\ 82}\text{Pb}\rightarrow{}^{214}_{\ 83}\text{Bi}+{}^{\ \ 0}_{-1}e+\bar\nu_e$

${}^{214}_{\ 83}\text{Bi}\rightarrow{}^{214}_{\ 84}\text{Po}+{}^{\ \ 0}_{-1}e+\bar\nu_e$

${}^{214}_{\ 84}\text{Po}\rightarrow{}^{210}_{\ 82}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He}$

${}^{210}_{\ 82}\text{Pb}\rightarrow{}^{210}_{\ 83}\text{Bi}+{}^{\ \ 0}_{-1}e+\bar\nu_e$

${}^{210}_{\ 83}\text{Bi}\rightarrow{}^{210}_{\ 84}\text{Po}+{}^{\ \ 0}_{-1}e+\bar\nu_e$

${}^{210}_{\ 84}\text{Po}\rightarrow{}^{206}_{\ 82}\text{Pb}+{}^{4}_{2}\text{He}$

Son ocho desintegraciones: cuatro alfa y cuatro beta negativas. El balance global es coherente, porque el número másico baja $4\cdot4=16$ unidades $(222-16=206)$ y el atómico baja $4\cdot2-4\cdot1=4$ unidades $(86-4=82)$.

$\textbf{b) Determine a partir del gráfico el período de semidesintegración de la muestra y razone a qué núcleo corresponde. Calcule cuántos días han de pasar hasta que se hayan desintegrado } \boldsymbol{7{,}95\cdot10^{23}}\textbf{ átomos. (1,25 puntos)}$










El período de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad. Se busca en el gráfico el instante en el que quedan:

$\frac{N_0}{2}=\frac{8{,}00\cdot10^{23}}{2}=4{,}00\cdot10^{23}\ \text{núcleos}$

y se lee $T_{1/2}\simeq3{,}5\ \text{días}$.





De los núcleos de la cadena, el único con un período de ese orden es el ${}^{210}_{\ 83}\text{Bi}$, cuyo período es de $3{,}47$ días. Los demás tienen períodos de minutos, de segundos, de años o de meses, así que la muestra estudiada es de bismuto 210.

Con ese dato se calcula la constante de desintegración:

$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{3{,}47}=0{,}200\ \text{días}^{-1}$

Si se han desintegrado $7{,}95\cdot10^{23}$ átomos, los que quedan sin desintegrar son:

$N=8{,}00\cdot10^{23}-7{,}95\cdot10^{23}=5{,}0\cdot10^{21}\ \text{núcleos}$

Aplicando la ley de desintegración radiactiva y despejando el tiempo:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow t=\frac{1}{\lambda}\ln\frac{N_0}{N}$

$t=\frac{1}{0{,}200}\ln\frac{8{,}00\cdot10^{23}}{5{,}0\cdot10^{21}}=\frac{\ln 160}{0{,}200}$

$t=25{,}4\,\text{días}$

Han de pasar unos $25$ días, algo más de siete períodos de semidesintegración.