Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2022

El movimiento de una anguila se puede aproximar al de una onda armónica transversal que se propaga desde la cabeza hasta la cola. Para estudiar su movimiento hemos de simplificar: no consideramos la aportación al movimiento del resto de músculos del cuerpo, y suponemos, simplemente, que la onda se genera en la cabeza de la anguila, que vibra con una frecuencia de $0{,}50\ \text{Hz}$ y con una amplitud de $5{,}00\ \text{cm}$. La distancia entre dos puntos consecutivos del cuerpo de la anguila que están en el mismo estado de vibración es de $20{,}0\ \text{cm}$.



a) Calcule la velocidad a la que se propaga la onda por el cuerpo de la anguila, la frecuencia angular y el número de onda. Si en el instante inicial la cabeza tiene una elongación cero y la velocidad de oscilación transversal es positiva, determine la expresión de la ecuación de onda. Para la ecuación de onda utilice el sistema de coordenadas de la figura superior, donde la cabeza de la anguila se encuentra siempre en el origen de las abscisas. [1,25 puntos]

b) A partir de la ecuación de onda, deduzca y calcule los módulos de la velocidad y de la aceleración máximas de la oscilación transversal. Si la longitud total de la anguila es de $58{,}0\ \text{cm}$, calcule también la velocidad y la aceleración transversales en la cola $10\ \text{s}$ más tarde de haber iniciado el movimiento. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule la velocidad de propagación, la frecuencia angular y el número de onda. Determine la expresión de la ecuación de onda. (1,25 puntos)}$

La distancia entre dos puntos consecutivos que están en el mismo estado de vibración es, por definición, la longitud de onda:

$\lambda=20{,}0\ \text{cm}=0{,}200\,\text{m}$

La velocidad de propagación es el producto de la longitud de onda por la frecuencia:

$v=\lambda\,f=0{,}200\cdot0{,}50=0{,}100\,\text{m/s}$

La frecuencia angular y el número de onda son:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot0{,}50=\pi=3{,}14\,\text{rad/s}$

$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}200}=10\pi=31{,}4\,\text{rad/m}$

La onda se propaga hacia el sentido positivo del eje $X$, desde la cabeza hacia la cola, de modo que la ecuación general es:

$y(x,t)=A\sin(\omega t-k\,x+\varphi_0)$

En la cabeza $(x=0)$ y en el instante inicial la elongación es nula y la velocidad transversal es positiva:

$y(0,0)=A\sin\varphi_0=0\Rightarrow \varphi_0=0\ \text{o}\ \varphi_0=\pi$

$v_y(0,0)=A\,\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=0$

Se descarta $\varphi_0=\pi$ porque daría una velocidad transversal negativa. Por tanto:

$y(x,t)=0{,}0500\sin(\pi t-10\pi x)\ \text{m}$

$\textbf{b) Deduzca y calcule los módulos de la velocidad y de la aceleración máximas de la oscilación transversal, y la velocidad y la aceleración en la cola } \boldsymbol{10\ \text{s}}\textbf{ después. (1,25 puntos)}$

Derivando la ecuación de onda respecto al tiempo se obtienen la velocidad y la aceleración transversales de cada punto del cuerpo:

$v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos(\omega t-k\,x)$

$a_y(x,t)=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\,\omega^2\sin(\omega t-k\,x)$

Los valores máximos se alcanzan cuando el coseno y el seno valen la unidad:

$v_{y,\max}=A\,\omega=0{,}0500\cdot\pi=0{,}157\,\text{m/s}$

$a_{y,\max}=A\,\omega^2=0{,}0500\cdot\pi^2=0{,}493\,\text{m/s}^2$

Para la cola, que está a $x=58{,}0\ \text{cm}=0{,}580\ \text{m}$ de la cabeza, y para $t=10\ \text{s}$, la fase vale:

$\omega t-k\,x=\pi\cdot10-10\pi\cdot0{,}580=4{,}20\pi\ \text{rad}$

$v_y=0{,}157\cos(4{,}20\pi)=0{,}127\,\text{m/s}$

$a_y=-0{,}493\sin(4{,}20\pi)=-0{,}290\,\text{m/s}^2$

En ese instante la cola sube con una celeridad de $0{,}127\,\text{m/s}$ mientras su aceleración, de módulo $0{,}290\,\text{m/s}^2$, apunta hacia abajo, es decir, hacia la posición de equilibrio.