Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

a) Un satélite describe una trayectoria circular de radio $R$ alrededor de una masa central. El tiempo que tarda en dar una vuelta entera es $T$. Deduzca la expresión para calcular la intensidad del campo gravitatorio, $g$, creado por la masa central en los puntos de la órbita del satélite en función de los parámetros $R$ y $T$. Considere que la Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra con una distancia entre centros de $384\cdot10^{6}\ \text{m}$ y con un período de $27{,}3$ días. Haciendo uso solo de estos dos datos y de la expresión hallada anteriormente, calcule la intensidad del campo gravitatorio en los puntos de la órbita de la Luna. [1,25 puntos]

b) Deduzca la expresión de la energía cinética mínima necesaria para que un cohete de masa $m$ pueda escapar de un objeto astronómico de masa $M$ y radio $R$. ¿Cuántas veces mayor es la energía cinética mínima para que el cohete pueda escapar de la Tierra respecto de la energía mínima que necesita para escapar de la Luna? (Solo puede utilizar los datos dados a continuación.) [1,25 puntos]

Datos: $M_{\text{Tierra}} = 81{,}3\,M_{\text{Luna}}$; $R_{\text{Tierra}} = 3{,}67\,R_{\text{Luna}}$.

$\textbf{a) Deduzca la expresión de la intensidad del campo gravitatorio en los puntos de la órbita en función de } \boldsymbol{R}\textbf{ y } \boldsymbol{T}\textbf{. Calcule la intensidad del campo gravitatorio en los puntos de la órbita de la Luna. (1,25 puntos)}$

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la atracción gravitatoria de la masa central, que en una órbita circular hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton y escribiendo la aceleración centrípeta en función del período:

$G\frac{M\,m}{R^2}=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,R$

La intensidad del campo gravitatorio en los puntos de la órbita es, por definición, la fuerza gravitatoria por unidad de masa:

$g=\frac{G\,M}{R^2}$

Comparando ambas expresiones se despeja el resultado pedido, que solo depende del radio y del período:

$g=\frac{4\pi^2 R}{T^2}$

La ventaja de esta forma es que no hace falta conocer ni la masa central ni la constante de gravitación.

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$T=27{,}3\ \text{días}\cdot\frac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=2{,}36\cdot10^{6}\,\text{s}$

$g=\frac{4\pi^2\cdot384\cdot10^{6}}{\left(2{,}36\cdot10^{6}\right)^{2}}$

$g=2{,}72\cdot10^{-3}\,\text{m/s}^2$

La intensidad del campo gravitatorio terrestre a la distancia de la Luna es de $2{,}72\cdot10^{-3}\,\text{N/kg}$, unas tres mil seiscientas veces menor que en la superficie de la Tierra.

$\textbf{b) Deduzca la expresión de la energía cinética mínima para que un cohete de masa } \boldsymbol{m}\textbf{ escape de un objeto de masa } \boldsymbol{M}\textbf{ y radio } \boldsymbol{R}\textbf{. ¿Cuántas veces mayor es esa energía para la Tierra que para la Luna? (1,25 puntos)}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía mecánica nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica se conserva entre la superficie y el infinito:

$E_c(R)+E_p(R)=E_c(\infty)+E_p(\infty)$

$E_c-G\frac{M\,m}{R}=0+0$

$E_c=\frac{G\,M\,m}{R}$

Para comparar los dos casos se hace el cociente entre la energía necesaria para escapar de la Tierra y la necesaria para escapar de la Luna. La constante de gravitación y la masa del cohete se simplifican:

$\frac{E_{c,\text{Tierra}}}{E_{c,\text{Luna}}}=\frac{M_{\text{Tierra}}/R_{\text{Tierra}}}{M_{\text{Luna}}/R_{\text{Luna}}}=\frac{M_{\text{Tierra}}}{M_{\text{Luna}}}\cdot\frac{R_{\text{Luna}}}{R_{\text{Tierra}}}$

$\frac{E_{c,\text{Tierra}}}{E_{c,\text{Luna}}}=\frac{81{,}3}{3{,}67}=22{,}2$

Hace falta una energía $22{,}2$ veces mayor para escapar de la Tierra que para escapar de la Luna, lo que explica que los módulos lunares del programa Apolo pudiesen despegar con motores muy pequeños.