Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cataluña · 2023

Queremos construir un sensor de radiación ultravioleta que sea sensible a radiaciones de longitud de onda de $300\ \text{nm}$. Decidimos utilizar el efecto fotoeléctrico como principio del sensor. Así pues, utilizaremos una célula fotoeléctrica que emita electrones. Para el buen funcionamiento de esta célula, es necesario que la energía mínima de los electrones emitidos sea de $1\ \text{eV}$.

a) Calcule la longitud de onda umbral del material que tendríamos que utilizar para construir la célula. [1,25 puntos]

b) Complete la tabla de abajo con los valores de la longitud de onda umbral de los tres materiales dando el resultado en nanómetros. Si podemos elegir uno de los tres materiales mostrados en la tabla de abajo para construir la célula, ¿cuál elegiría? Justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Elemento	Símbolo	$\text{Función de trabajo (J)}$	$\text{Longitud de onda umbral (nm)}$ Wolframio	W	$8{,}36\cdot10^{-19}$	Magnesio	Mg	$5{,}86\cdot10^{-19}$	Potasio	K	$3{,}67\cdot10^{-19}$

Datos: $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J s}$.

$\textbf{a) Calcule la longitud de onda umbral del material que tendríamos que utilizar para construir la célula. (1,25 puntos)}$

El sensor ha de funcionar con radiación de $300\ \text{nm}$, de modo que la energía de cada fotón incidente es:

$E_f=h\frac{c}{\lambda}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{300\cdot10^{-9}}$

$E_f=6{,}63\cdot10^{-19}\,\text{J}=4{,}14\,\text{eV}$

Por la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, esa energía se reparte entre el trabajo de extracción y la energía cinética del electrón emitido:

$E_f=W_0+E_{c,\text{máx}}$

El enunciado exige que los electrones salgan con al menos $1\ \text{eV}$, así que el trabajo de extracción del material no puede superar:

$W_0=E_f-E_{c,\text{máx}}=4{,}14-1=3{,}14\,\text{eV}$

$W_0=3{,}14\cdot1{,}602\cdot10^{-19}=5{,}03\cdot10^{-19}\,\text{J}$

La longitud de onda umbral es la que corresponde a un fotón de esa energía:

$W_0=h\frac{c}{\lambda_0}\Rightarrow \lambda_0=h\frac{c}{W_0}=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{5{,}03\cdot10^{-19}}$

$\lambda_0=3{,}96\cdot10^{-7}\,\text{m}=396\,\text{nm}$

El material buscado ha de tener una longitud de onda umbral de al menos $396\,\text{nm}$.

$\textbf{b) Complete la tabla con las longitudes de onda umbral de los tres materiales. ¿Cuál elegiría para construir la célula? Justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

Aplicando a cada material la misma expresión:

$\lambda_0=\frac{h\,c}{W_0}$

$\lambda_0(\text{W})=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{8{,}36\cdot10^{-19}}=2{,}38\cdot10^{-7}\,\text{m}=238\,\text{nm}$

$\lambda_0(\text{Mg})=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{5{,}86\cdot10^{-19}}=3{,}39\cdot10^{-7}\,\text{m}=339\,\text{nm}$

$\lambda_0(\text{K})=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{3{,}67\cdot10^{-19}}=5{,}42\cdot10^{-7}\,\text{m}=542\,\text{nm}$

Elemento	Símbolo	$\text{Función de trabajo (J)}$	$\text{Longitud de onda umbral (nm)}$ Wolframio	W	$8{,}36\cdot10^{-19}$	238 Magnesio	Mg	$5{,}86\cdot10^{-19}$	339 Potasio	K	$3{,}67\cdot10^{-19}$	542

Se descarta cada material comprobando las dos condiciones del enunciado:

i) El wolframio tiene una longitud de onda umbral de $238\,\text{nm}$, menor que los $300\,\text{nm}$ de la radiación que se quiere detectar. Con esa luz ni siquiera se produciría el efecto fotoeléctrico, así que no sirve.

ii) El magnesio sí produce efecto fotoeléctrico, porque $339\,\text{nm}>300\,\text{nm}$, pero la energía cinética de los electrones emitidos es demasiado pequeña:

$E_{c,\text{máx}}=6{,}63\cdot10^{-19}-5{,}86\cdot10^{-19}=7{,}7\cdot10^{-20}\,\text{J}=0{,}48\,\text{eV}<1\,\text{eV}$

iii) El potasio cumple las dos condiciones:

$E_{c,\text{máx}}=6{,}63\cdot10^{-19}-3{,}67\cdot10^{-19}=2{,}96\cdot10^{-19}\,\text{J}=1{,}85\,\text{eV}>1\,\text{eV}$

Se elegiría, por tanto, el potasio: es el único cuya longitud de onda umbral supera los $396\,\text{nm}$ calculados en el apartado anterior.