Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2023

En las centrales nucleares se produce electricidad a partir de la fisión de núcleos de uranio. Esta energía se utiliza para generar vapor de agua, que hace girar una turbina. El uranio es un elemento químico metálico de símbolo U y número atómico 92. En la naturaleza encontramos diferentes isótopos del uranio, pero los más comunes son el uranio 238 y el uranio 235.

a) Calcule el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón para el uranio 235, e introduzca el valor obtenido en la tabla de abajo. Explique la relación entre la energía de enlace por nucleón y la estabilidad del núcleo. A partir de aquí, indique cuál de los núcleos de la tabla es el más estable. [1,25 puntos]

Núcleo	azufre 34	hierro 56	radio 226	uranio 235 $\text{Energía de enlace por nucleón (MeV)}$	8,58	8,79	7,66

b) En una reacción nuclear de fisión del uranio 235, un neutrón de alta energía impacta en un núcleo de uranio. Como resultado, se forman dos núcleos más pequeños y tres neutrones. Si consideramos que uno de los núcleos que se forman es el bario 141, escriba la reacción nuclear completa. Para cada núcleo de uranio fisionado, se liberan $202{,}5\ \text{MeV}$. Calcule cuántos gramos de uranio 235 son necesarios para producir la energía necesaria para iluminar un estadio deportivo durante un partido en el que se consumen aproximadamente $25\,000\ \text{kW h}$. [1,25 puntos]

Datos: $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $1\ \text{eV} = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{J}$; masas nucleares: protón, $1{,}672\,622\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; neutrón, $1{,}674\,927\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; núcleo de uranio 235, $3{,}902\,158\cdot10^{-25}\ \text{kg}$. Números atómicos: $\text{Kr}\ (Z=36)$, $\text{Rb}\ (Z=37)$, $\text{Sr}\ (Z=38)$, $\text{Ba}\ (Z=56)$, $\text{La}\ (Z=57)$, $\text{U}\ (Z=92)$.

$\textbf{a) Calcule el defecto de masa y la energía de enlace por nucleón del uranio 235. Explique la relación entre la energía de enlace por nucleón y la estabilidad del núcleo, e indique cuál de los núcleos de la tabla es el más estable. (1,25 puntos)}$

El núcleo de uranio 235 tiene $Z=92$ protones y $A-Z=235-92=143$ neutrones. El defecto de masa es la diferencia entre la masa de los nucleones por separado y la masa del núcleo formado:

$\Delta m=Z\,m_p+(A-Z)\,m_n-m_{\text{núcleo}}$

$\Delta m=92\cdot1{,}672\,622\cdot10^{-27}+143\cdot1{,}674\,927\cdot10^{-27}-3{,}902\,158\cdot10^{-25}$

$\Delta m=3{,}180\cdot10^{-27}\,\text{kg}$

La energía de enlace es la energía equivalente a ese defecto de masa:

$E_e=\Delta m\,c^2=3{,}180\cdot10^{-27}\cdot\left(3{,}00\cdot10^{8}\right)^2$

$E_e=2{,}862\cdot10^{-10}\,\text{J}$

$E_e=\frac{2{,}862\cdot10^{-10}}{1{,}602\cdot10^{-19}}=1{,}787\cdot10^{9}\ \text{eV}=1\,787\,\text{MeV}$

Y por nucleón:

$\frac{E_e}{A}=\frac{1\,787}{235}=7{,}60\,\text{MeV}$

Núcleo	azufre 34	hierro 56	radio 226	uranio 235 $\text{Energía de enlace por nucleón (MeV)}$	8,58	8,79	7,66	7,60

La energía de enlace por nucleón es la energía que habría que aportar, en promedio, para arrancar cada nucleón del núcleo. Cuanto mayor es, más fuertemente ligados están los nucleones y más estable es el núcleo.

De los cuatro núcleos de la tabla, el más estable es el hierro 56, con $8{,}79\,\text{MeV}$ por nucleón. Es coherente con la curva de energía de enlace, que presenta su máximo en torno al hierro: los núcleos más ligeros ganan estabilidad fusionándose y los más pesados, como el uranio, fisionándose.

$\textbf{b) Escriba la reacción nuclear completa de la fisión del uranio 235. Calcule cuántos gramos de uranio 235 son necesarios para producir } \boldsymbol{25\,000\ \text{kW h}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Sea $X$ el segundo núcleo que se forma. Conservando el número másico y el número atómico:

${}^{235}_{\ 92}\text{U}+{}^{1}_{0}n\rightarrow{}^{141}_{\ 56}\text{Ba}+{}^{A}_{Z}X+3\,{}^{1}_{0}n$

$235+1=141+A+3\Rightarrow A=92$

$92+0=56+Z\Rightarrow Z=36$

El elemento de número atómico 36 es el criptón, así que la reacción completa es:

${}^{235}_{\ 92}\text{U}+{}^{1}_{0}n\rightarrow{}^{141}_{\ 56}\text{Ba}+{}^{92}_{36}\text{Kr}+3\,{}^{1}_{0}n$

La energía que hay que producir, en unidades del Sistema Internacional, es:

$E=25\,000\ \text{kW h}\cdot\frac{3{,}6\cdot10^{6}\ \text{J}}{1\ \text{kW h}}=9{,}00\cdot10^{10}\,\text{J}$

Y la energía que libera cada fisión:

$E_1=202{,}5\ \text{MeV}=202{,}5\cdot10^{6}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}=3{,}244\cdot10^{-11}\,\text{J}$

El número de núcleos que hay que fisionar es el cociente entre ambas:

$N=\frac{E}{E_1}=\frac{9{,}00\cdot10^{10}}{3{,}244\cdot10^{-11}}=2{,}77\cdot10^{21}\ \text{núcleos}$

Y su masa, el producto por la masa de un núcleo:

$m=N\,m_{\text{núcleo}}=2{,}77\cdot10^{21}\cdot3{,}902\,158\cdot10^{-25}$

$m=1{,}08\cdot10^{-3}\,\text{kg}=1{,}08\,\text{g}$

Poco más de un gramo de uranio 235 basta para iluminar el estadio durante todo el partido.