Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2023

a) Justifique si se podría determinar la masa de un objeto colgándolo de un muelle de constante elástica conocida $(100\ \text{N/m})$ y dejándolo oscilar unas cuantas veces y, en caso afirmativo, explique cómo la calcularía. ¿Obtendríamos el mismo resultado si lo hiciésemos en la Luna? Desprecie el efecto de la fuerza de fricción. [1,25 puntos]

b) Deduzca la ecuación de movimiento del objeto a partir de la ecuación del movimiento armónico simple (MAS) teniendo en cuenta que la amplitud del movimiento es de $6{,}00\ \text{cm}$, que la frecuencia de oscilación es de $10{,}0\ \text{Hz}$ y que el movimiento se inicia cuando la aceleración es máxima y positiva. Calcule la velocidad y la aceleración máximas del MAS a partir de la ecuación de movimiento. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Justifique si se podría determinar la masa de un objeto colgándolo de un muelle de constante elástica conocida y dejándolo oscilar. ¿Obtendríamos el mismo resultado en la Luna? (1,25 puntos)}$

Sí se puede. Un objeto colgado de un muelle y apartado de su posición de equilibrio describe un movimiento armónico simple, porque la fuerza recuperadora del muelle es proporcional a la elongación medida desde esa posición:

$F=-k\,x$

Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton y comparando con la ecuación general del movimiento armónico simple, la pulsación resulta:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

Y como la pulsación y el período están relacionados:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

Bastaría, por tanto, con cronometrar unas cuantas oscilaciones y dividir el tiempo total entre el número de oscilaciones para obtener el período con precisión. Despejando:

$m=\frac{k\,T^2}{4\pi^2}$

En la Luna se obtendría exactamente el mismo resultado. El peso no aparece en la expresión del período: lo único que hace es desplazar la posición de equilibrio del muelle, alrededor de la cual se produce la oscilación. La masa que se mide es la masa inercial del objeto, que no depende de la gravedad del lugar. Es la razón por la que este método, y no una balanza, se usa para medir masas en ingravidez.

$\textbf{b) Deduzca la ecuación de movimiento del objeto sabiendo que } \boldsymbol{A=6{,}00\ \text{cm}}\textbf{, } \boldsymbol{f=10{,}0\ \text{Hz}}\textbf{ y que el movimiento se inicia cuando la aceleración es máxima y positiva. Calcule la velocidad y la aceleración máximas. (1,25 puntos)}$

Los datos, en unidades del Sistema Internacional, son:

$A=6{,}00\ \text{cm}=0{,}0600\,\text{m}$

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot10{,}0=62{,}8\,\text{rad/s}$

En un movimiento armónico simple la aceleración es proporcional y opuesta a la elongación:

$a(t)=-\omega^2\,x(t)$

De modo que la aceleración es máxima y positiva cuando la elongación es máxima y negativa, es decir, cuando $x=-A$. Esa es la posición inicial:

$x(0)=-A\Rightarrow -A=A\cos\varphi_0\Rightarrow \varphi_0=\pi\ \text{rad}$

$x(t)=0{,}0600\cos(62{,}8\,t+\pi)\ \text{m}$

Derivando se obtienen la velocidad y la aceleración:

$v(t)=\frac{dx}{dt}=-0{,}0600\cdot62{,}8\sin(62{,}8\,t+\pi)\ \text{m/s}$

$a(t)=\frac{dv}{dt}=-0{,}0600\cdot62{,}8^{2}\cos(62{,}8\,t+\pi)\ \text{m/s}^2$

Los valores máximos se alcanzan cuando el seno y el coseno valen la unidad:

$v_{\max}=A\,\omega=0{,}0600\cdot62{,}8=3{,}77\,\text{m/s}$

$a_{\max}=A\,\omega^2=0{,}0600\cdot62{,}8^{2}=237\,\text{m/s}^2$

Se comprueba además que en $t=0$ la aceleración vale $a(0)=+237\,\text{m/s}^2$, máxima y positiva, tal como pedía el enunciado.