Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2023

Un espectrómetro de masas es un aparato que permite determinar la relación carga/masa de iones. El espectrómetro de masas contiene tres partes diferenciadas. La primera parte es un filamento que ioniza las moléculas o átomos que entran dentro del espectrómetro. A la salida del filamento todos los iones tienen una carga negativa. En la segunda parte del aparato los iones pasan por un selector de velocidades (figura 1) que está formado por dos placas paralelas, entre las cuales se genera un campo eléctrico uniforme. La separación entre estas placas es de $1{,}50\ \text{cm}$. Entre las placas también se genera un campo magnético uniforme de $0{,}50\ \text{T}$ perpendicular al plano del papel y en sentido saliente, tal como se muestra en la figura 1.


Figura 1. Selector de velocidades.

a) Queremos que el selector de velocidades solo deje pasar los iones que se muevan a una velocidad de $2{,}00\cdot10^{5}\ \text{m s}^{-1}$. Determine la diferencia de potencial que hemos de aplicar entre las placas para que los iones que se mueven a esta velocidad no se desvíen. ¿Qué placa se ha de conectar a potencial alto y cuál a potencial bajo? Justifique las respuestas y represente las fuerzas que actúan sobre un ion. Diga si el selector de velocidades configurado de esta manera también funciona para iones positivos y justifique la respuesta. [1,25 puntos]

b) La tercera parte del espectrómetro se encuentra a la salida del selector de velocidades y es una región donde hay otro campo magnético uniforme de $0{,}20\ \text{T}$, perpendicular al plano del papel y en sentido entrante (figura 2). Las pantallas laterales permiten medir la posición en la que impactan los iones y de esta manera poder determinar su masa.


Figura 2. Región del campo magnético y pantallas.

Represente esquemáticamente sobre la figura 2 la trayectoria que describen los iones que salen del selector de velocidades indicando la dirección y el sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético en un punto de la trayectoria. Justifique la respuesta. Calcule a qué distancia de la salida del selector de velocidades impactará el ion de los isótopos del neón ${}^{20}\text{Ne}^{-}$ (el ion tiene la misma carga que un electrón). [1,25 puntos]

Datos: $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; masa del ion ${}^{20}\text{Ne}^{-} = 3{,}32\cdot10^{-26}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Determine la diferencia de potencial que hay que aplicar entre las placas para que no se desvíen los iones de } \boldsymbol{2{,}00\cdot10^{5}\ \text{m s}^{-1}}\textbf{. ¿Qué placa se conecta a potencial alto? Represente las fuerzas sobre un ion. ¿Funciona también para iones positivos? (1,25 puntos)}$










Para que un ion no se desvíe, la fuerza total sobre él ha de ser nula, es decir, la fuerza eléctrica y la magnética han de tener el mismo módulo y sentidos opuestos:

$|q|\,E=|q|\,v\,B\Rightarrow E=v\,B$

El módulo del campo eléctrico necesario es, por tanto:

$E=2{,}00\cdot10^{5}\cdot0{,}50=1{,}00\cdot10^{5}\,\text{V/m}$





Entre dos placas paralelas el campo es uniforme, así que la diferencia de potencial es el campo por la separación:

$d=1{,}50\ \text{cm}=1{,}50\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$\Delta V=E\,d=1{,}00\cdot10^{5}\cdot1{,}50\cdot10^{-2}$

$\Delta V=1\,500\,\text{V}$

Para decidir qué placa va a potencial alto se determina primero el sentido de la fuerza magnética. Con el ion moviéndose hacia la derecha y el campo magnético saliente del papel:

$\vec F_m=q\left(\vec v\times\vec B\right)=(-|q|)\left(v\,\vec{\imath}\times B\,\vec k\right)=+|q|\,v\,B\,\vec{\jmath}$

es decir, hacia arriba. La fuerza eléctrica ha de ser entonces hacia abajo. Como el ion es negativo, la fuerza eléctrica es opuesta al campo, de modo que el campo eléctrico ha de estar dirigido hacia arriba. Y como el campo apunta siempre hacia los potenciales decrecientes, la placa inferior es la de potencial alto y la superior, la de potencial bajo.

El selector también funciona para iones positivos. Al cambiar el signo de la carga, las dos fuerzas cambian de sentido a la vez, así que siguen compensándose. Además, la condición de equilibrio $E=vB$ no depende ni del signo ni del valor de la carga, ni tampoco de la masa: solo deja pasar los iones cuya velocidad sea la seleccionada, sean cuales sean.

$\textbf{b) Represente la trayectoria de los iones y la fuerza magnética en un punto. Calcule a qué distancia de la salida del selector impactará el ion } \boldsymbol{{}^{20}\text{Ne}^{-}}\textbf{. (1,25 puntos)}$










En esta región solo actúa el campo magnético, que ahora es entrante. La fuerza magnética es siempre perpendicular a la velocidad, de modo que no cambia el módulo de esta y el movimiento resulta circular uniforme.

Con el ion entrando hacia la derecha y el campo entrante:

$\vec F_m=(-|q|)\left(v\,\vec{\imath}\times(-B\,\vec k)\right)=-|q|\,v\,B\,\vec{\jmath}$

es decir, dirigida hacia abajo: el ion se curva hacia la pantalla inferior.





La fuerza magnética hace de fuerza centrípeta:

$|q|\,v\,B=\frac{m\,v^2}{r}\Rightarrow r=\frac{m\,v}{|q|\,B}$

$r=\frac{3{,}32\cdot10^{-26}\cdot2{,}00\cdot10^{5}}{1{,}602\cdot10^{-19}\cdot0{,}20}$

$r=0{,}207\,\text{m}$

El ion describe media circunferencia antes de volver al plano de las pantallas, así que impacta a una distancia igual al diámetro:

$d=2r=2\cdot0{,}207$

$d=0{,}414\,\text{m}=41{,}4\,\text{cm}$

El ion de ${}^{20}\text{Ne}^{-}$ impacta $41{,}4\,\text{cm}$ por debajo de la salida del selector. Como el radio es proporcional a la masa, cada isótopo impacta en un punto distinto, y de ahí que midiendo la posición se pueda determinar la masa.