Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2023

Llevamos a cabo una experiencia de resonancia en un tubo con agua que consiste en sumergir un tubo abierto por los dos extremos en un recipiente que contiene agua, tal como se muestra en la figura. Encima del extremo superior del tubo hacemos vibrar un diapasón, que emite un sonido de frecuencia $442\ \text{Hz}$. La longitud de la columna de aire $(L)$ se ajusta elevando el tubo fuera del agua hasta encontrar un punto donde se produce la resonancia (se oye una nota intensa). Comenzamos la experiencia con todo el tubo sumergido y observamos la primera resonancia cuando $L = 19{,}3\ \text{cm}$ y la segunda resonancia cuando $L = 58{,}0\ \text{cm}$.



a) Dibuje la forma de la onda resonante para la primera y la segunda resonancias. Indique en ambos casos de qué armónico se trata e identifique los vientres y los nodos. Justifique por qué en ambos casos la longitud de onda no varía. Determine la longitud del tubo que ha de quedar por encima del agua cuando resuena el quinto armónico. [1,25 puntos]

b) A partir de los resultados de la experiencia, determine la velocidad del sonido en el aire. Si sustituimos el agua por glicerina, ¿variará este resultado? Razone la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: la velocidad del sonido en el agua es de $1\,493\ \text{m s}^{-1}$; la velocidad del sonido en la glicerina es de $1\,904\ \text{m s}^{-1}$.

$\textbf{a) Dibuje la forma de la onda resonante para la primera y la segunda resonancias, indique de qué armónico se trata e identifique vientres y nodos. Justifique por qué la longitud de onda no varía. Determine } \boldsymbol{L}\textbf{ cuando resuena el quinto armónico. (1,25 puntos)}$

La columna de aire está abierta por arriba, donde vibra el diapasón, y cerrada por abajo, donde está la superficie del agua. En un tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro solo pueden establecerse ondas estacionarias con un vientre en el extremo abierto y un nodo en el cerrado.



Esa condición obliga a que en la columna quepa un número impar de cuartos de longitud de onda:

$L_n=(2n-1)\frac{\lambda}{4}\qquad n=1,2,3\ldots$

La primera resonancia corresponde al primer armónico, con un solo vientre arriba y un solo nodo abajo:

$L_1=\frac{\lambda}{4}$

La segunda resonancia corresponde al tercer armónico, con dos vientres y dos nodos:

$L_2=\frac{3\lambda}{4}$

La longitud de onda no varía entre una resonancia y otra porque el diapasón sigue emitiendo la misma frecuencia y el sonido se propaga por el mismo medio, el aire de la columna. Lo único que cambia al subir el tubo es cuántos cuartos de onda caben dentro, no la longitud de cada uno.

De la diferencia entre las dos longitudes medidas se obtiene la longitud de onda sin necesidad de corregir el extremo abierto:

$L_2-L_1=\frac{3\lambda}{4}-\frac{\lambda}{4}=\frac{\lambda}{2}$

$\lambda=2\left(0{,}580-0{,}193\right)=0{,}774\,\text{m}$

El quinto armónico es la tercera resonancia:

$L_3=\frac{5\lambda}{4}=\frac{5\cdot0{,}774}{4}$

$L_3=0{,}968\,\text{m}$

$\textbf{b) Determine la velocidad del sonido en el aire. Si sustituimos el agua por glicerina, ¿variará este resultado? Razone la respuesta. (1,25 puntos)}$

La velocidad de propagación es el producto de la longitud de onda por la frecuencia:

$v=\lambda\,f=0{,}774\cdot442$

$v=342\,\text{m/s}$

El valor obtenido es el habitual de la velocidad del sonido en el aire a temperatura ambiente, lo que confirma el método.

Si se sustituye el agua por glicerina el resultado no varía. La onda estacionaria se establece en la columna de aire, no en el líquido: este solo actúa como extremo cerrado, es decir, como una superficie reflectante que impone un nodo. Lo que se mide es la velocidad del sonido en el aire, y esta no depende del líquido que hay debajo. Los datos de la velocidad del sonido en el agua y en la glicerina no intervienen en el cálculo.