Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

En el mes de noviembre de 2021, la NASA lanzó la misión DART (Double Asteroid Redirection Test). Esta misión tiene por objetivo cambiar la órbita de Dimorphos, un pequeño asteroide que orbita alrededor de Didymos, que es un asteroide más grande.


Esquema de la misión DART. Nota: la imagen no está a escala; las proporciones entre las órbitas y los objetos no se corresponden con las escalas reales.

a) A partir de la ley de la gravitación universal, halle la expresión de la intensidad del campo gravitatorio que crea un objeto astronómico esférico de masa $M$ y radio $R$ en su superficie. El diámetro de Didymos es de $781\ \text{m}$ y su densidad es de $2\,146\ \text{kg/m}^3$. Calcule el valor de la intensidad del campo gravitatorio que crea Didymos en su superficie. Si Dimorphos tiene una masa de $4{,}42\cdot10^{10}\ \text{kg}$ y el radio orbital medio (distancia entre los centros de los dos objetos) es de $1{,}12\ \text{km}$, calcule el módulo de la fuerza gravitatoria media entre Didymos y Dimorphos. [1,25 puntos]

b) El objetivo de la misión DART es golpear Dimorphos, de tal manera que orbite en una nueva órbita de radio menor, como se indica en la figura anterior. Deduzca, a partir de principios fundamentales, la expresión de la velocidad orbital de un satélite en función del radio de la órbita. Argumente si Dimorphos orbitará a más velocidad en la nueva órbita o en la órbita original. [1,25 puntos]

Dato: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$.

Nota: considere que las órbitas son circulares y que los dos asteroides son esféricos.

$\textbf{a) Halle la expresión de la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un objeto esférico de masa } \boldsymbol{M}\textbf{ y radio } \boldsymbol{R}\textbf{. Calcule su valor para Didymos y el módulo de la fuerza gravitatoria media entre Didymos y Dimorphos. (1,25 puntos)}$

Por la ley de la gravitación universal, la fuerza que un objeto esférico de masa $M$ ejerce sobre una masa $m$ situada en su superficie es la misma que si toda su masa estuviese concentrada en el centro:

$F=G\frac{M\,m}{R^2}$

La intensidad del campo gravitatorio es la fuerza por unidad de masa:

$g=\frac{F}{m}=\frac{G\,M}{R^2}$

Para calcular la masa de Didymos se parte de su densidad y de su volumen de esfera:

$R=\frac{781}{2}=390{,}5\,\text{m}$

$V=\frac43\pi R^3=\frac43\pi\left(390{,}5\right)^3=2{,}49\cdot10^{8}\,\text{m}^3$

$M=\rho\,V=2\,146\cdot2{,}49\cdot10^{8}=5{,}35\cdot10^{11}\,\text{kg}$

$g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}35\cdot10^{11}}{390{,}5^{2}}$

$g=2{,}34\cdot10^{-4}\,\text{m/s}^2$

Es un campo gravitatorio unas cuarenta mil veces menor que el terrestre, lo que explica que baste un impacto para alterar la órbita de Dimorphos.

La fuerza entre los dos asteroides se obtiene aplicando de nuevo la ley de la gravitación universal, ahora con la distancia entre sus centros:

$r=1{,}12\ \text{km}=1{,}12\cdot10^{3}\ \text{m}$

$F=G\frac{M\,m}{r^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}35\cdot10^{11}\cdot4{,}42\cdot10^{10}}{\left(1{,}12\cdot10^{3}\right)^{2}}$

$F=1{,}26\cdot10^{6}\,\text{N}$

$\textbf{b) Deduzca la expresión de la velocidad orbital de un satélite en función del radio de la órbita. Argumente si Dimorphos orbitará a más velocidad en la nueva órbita o en la original. (1,25 puntos)}$

La única fuerza que actúa sobre Dimorphos es la atracción gravitatoria de Didymos, y al describir una órbita circular esa fuerza es la fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}$

Simplificando la masa del satélite y despejando la velocidad:

$v=\sqrt{\frac{G\,M}{r}}$

La velocidad orbital es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio de la órbita: cuanto más cerca está el satélite, más deprisa se mueve.

Como el impacto de DART reduce el radio orbital, Dimorphos orbitará a más velocidad en la nueva órbita que en la original. Por la tercera ley de Kepler, su período de revolución también será menor, que es precisamente el efecto que la misión pretendía medir.