Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2023

A raíz del anuncio hecho en diciembre de 2022 por los Estados Unidos de que se había conseguido por primera vez la fusión nuclear con una ganancia neta de energía, algunos medios de comunicación han publicado que un vaso de agua puede producir la energía que consumirá una familia de cuatro miembros durante toda la vida. Por otra parte, dentro del Sol hay una presión y una temperatura tan elevadas que los átomos de hidrógeno se fusionan y se transforman en helio. El principal proceso de fusión nuclear que tiene lugar en el Sol es la cadena protón-protón. El balance global de este proceso es que cuatro protones se unen para formar un núcleo de helio.

a) Calcule la energía que se libera en la cadena protón-protón cuando se forma un núcleo de helio. Teniendo en cuenta que un vaso de agua contiene, aproximadamente, $17\ \text{mol}$ de agua, ¿cuánta energía se puede extraer del hidrógeno que hay en el agua de un vaso mediante la cadena protón-protón? [1,25 puntos]

b) Desgraciadamente, en la Tierra no se pueden alcanzar las condiciones de temperatura y presión que hay en el Sol, y por eso, en los reactores de fusión se utilizan los isótopos del hidrógeno: el deuterio $({}^{2}_{1}\text{H})$ y el tritio $({}^{3}_{1}\text{H})$. La abundancia relativa del deuterio es de un $0{,}001\ \%$, mientras que la del tritio es prácticamente nula (en la Tierra hay unos $20\ \text{kg}$ de tritio natural).

Para generar tritio, se utiliza litio 6 $({}^{6}_{3}\text{Li})$ obtenido a partir de reactores nucleares de fisión. El tritio se obtiene bombardeando núcleos de litio 6 con neutrones. Escriba la reacción nuclear sabiendo que el resultado es la formación de tritio y partículas alfa. Se ha afirmado que la fusión nuclear es una energía neta porque la reacción de la cadena protón-protón no genera residuos radiactivos. Ahora bien, en el proceso de fusión del deuterio y del tritio se liberan neutrones con una energía capaz de volver radiactivos los materiales circundantes. Diga si la fusión nuclear es una fuente de energía neta e inagotable y justifique la respuesta. [1,25 puntos]

Datos: $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $N_A = 6{,}022\cdot10^{23}$; masas nucleares: protón, $1{,}672\,621\,92\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; núcleo de helio, $6{,}642\,835\,33\cdot10^{-27}\ \text{kg}$. El consumo anual medio de electricidad de una persona en Cataluña es de $1{,}22\cdot10^{10}\ \text{J}$.

$\textbf{a) Calcule la energía que se libera en la cadena protón-protón cuando se forma un núcleo de helio. ¿Cuánta energía se puede extraer del hidrógeno que hay en el agua de un vaso? (1,25 puntos)}$

El balance global de la cadena protón-protón es:

$4\,{}^{1}_{1}\text{H}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+2\,e^{+}+2\,\nu_e$

La masa del núcleo de helio es menor que la de los cuatro protones que lo forman. Ese defecto de masa es el que se convierte en energía según la equivalencia masa-energía de Einstein:

$\Delta m=4\,m_p-m_{\text{He}}$

$\Delta m=4\cdot1{,}672\,621\,92\cdot10^{-27}-6{,}642\,835\,33\cdot10^{-27}$

$\Delta m=4{,}765\cdot10^{-29}\,\text{kg}$

$E=\Delta m\,c^2=4{,}765\cdot10^{-29}\cdot\left(3{,}00\cdot10^{8}\right)^2$

$E=4{,}29\cdot10^{-12}\,\text{J}$

Expresada en unidades más habituales en física nuclear:

$E=\frac{4{,}29\cdot10^{-12}}{1{,}602\cdot10^{-19}}=2{,}68\cdot10^{7}\ \text{eV}=26{,}8\,\text{MeV}$

Cada molécula de agua contiene dos átomos de hidrógeno, así que en el vaso hay:

$n_H=2\cdot17\ \text{mol}=34\ \text{mol de hidrógeno}$

$N_H=34\cdot6{,}022\cdot10^{23}=2{,}05\cdot10^{25}\ \text{protones}$

Como hacen falta cuatro protones por cada núcleo de helio:

$N_{\text{He}}=\frac{2{,}05\cdot10^{25}}{4}=5{,}12\cdot10^{24}\ \text{núcleos}$

$E_{\text{total}}=N_{\text{He}}\cdot E=5{,}12\cdot10^{24}\cdot4{,}29\cdot10^{-12}$

$E_{\text{total}}=2{,}20\cdot10^{13}\,\text{J}$

Es una cifra enorme: equivale al consumo eléctrico anual de unas $1\,800$ personas, lo que da la razón, en orden de magnitud, al titular de los medios de comunicación.

$\textbf{b) Escriba la reacción nuclear del bombardeo del litio 6 con neutrones. Diga si la fusión nuclear es una fuente de energía neta e inagotable y justifique la respuesta. (1,25 puntos)}$

Conservando el número másico y el número atómico, y sabiendo que se forman tritio y partículas alfa:

${}^{6}_{3}\text{Li}+{}^{1}_{0}n\rightarrow{}^{3}_{1}\text{H}+{}^{4}_{2}\text{He}$

Se comprueba el balance: en números másicos, $6+1=3+4$; en números atómicos, $3+0=1+2$.

En cuanto a la valoración, conviene separar las dos afirmaciones:

i) No es una energía completamente limpia. La cadena protón-protón no genera residuos radiactivos, pero no es la reacción que se usa en los reactores terrestres. La reacción deuterio-tritio libera neutrones muy energéticos que activan los materiales de la estructura del reactor y los vuelven radiactivos. Hay residuos, aunque de vida mucho más corta que los de la fisión.

ii) Tampoco es inagotable. El deuterio es abundantísimo en el agua del mar, pero el tritio no: su abundancia natural es prácticamente nula y hay que fabricarlo a partir de litio 6, que es un recurso mineral limitado y que además se obtiene con reactores de fisión.

Por tanto, la fusión nuclear es una fuente de energía extraordinariamente densa y mucho más limpia que la fisión, pero ni está libre de residuos radiactivos ni es, en la práctica, inagotable.