Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2023

Desde la playa, observamos que la distancia entre las crestas de dos olas consecutivas es de $4\ \text{m}$. Por otra parte, observando una de las boyas que limita la zona de baño, contamos que oscila 30 veces en un minuto y que su desplazamiento vertical total, desde la posición más baja hasta el punto más alto, es de $40\ \text{cm}$.

a) Determine la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas. Escriba la ecuación que describe el movimiento de la boya en función del tiempo. [1,25 puntos]

b) Deduzca la expresión de la velocidad y la aceleración de la boya y calcule los valores máximos de la velocidad y de la aceleración. Represente la evolución de la velocidad respecto al tiempo durante un período. [1,25 puntos]

Nota: para determinar la fase inicial considere que al principio la boya se encuentra en la posición más alta.

$\textbf{a) Determine la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas. Escriba la ecuación que describe el movimiento de la boya en función del tiempo. (1,25 puntos)}$

La distancia entre dos crestas consecutivas es, por definición, la longitud de onda:

$\lambda=4\,\text{m}$

La boya oscila con el paso de las olas, así que su período es el de la onda:

$T=\frac{60\ \text{s}}{30\ \text{oscilaciones}}=2\,\text{s}$

$f=\frac{1}{T}=0{,}5\,\text{Hz}$

La velocidad de propagación es el producto de la longitud de onda por la frecuencia:

$v=\lambda\,f=4\cdot0{,}5=2\,\text{m/s}$

El desplazamiento vertical total entre la posición más baja y la más alta es el doble de la amplitud:

$2A=40\ \text{cm}\Rightarrow A=20\ \text{cm}=0{,}20\,\text{m}$

$\omega=2\pi f=\pi\,\text{rad/s}$

Como en el instante inicial la boya está en la posición más alta, $y(0)=+A$, y con la función coseno la fase inicial es nula:

$y(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\Rightarrow A=A\cos\varphi_0\Rightarrow \varphi_0=0$

$y(t)=0{,}20\cos(\pi t)\ \text{m}$

$\textbf{b) Deduzca la expresión de la velocidad y la aceleración de la boya y calcule sus valores máximos. Represente la evolución de la velocidad respecto al tiempo durante un período. (1,25 puntos)}$

La velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo:

$v(t)=\frac{dy}{dt}=-A\,\omega\sin(\omega t)=-0{,}20\pi\sin(\pi t)\ \text{m/s}$

Y la aceleración, la derivada de la velocidad:

$a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\,\omega^2\cos(\omega t)=-0{,}20\pi^2\cos(\pi t)\ \text{m/s}^2$

Los valores máximos se alcanzan cuando el seno y el coseno valen la unidad:

$v_{\max}=A\,\omega=0{,}20\pi=0{,}628\,\text{m/s}$

$a_{\max}=A\,\omega^2=0{,}20\pi^2=1{,}97\,\text{m/s}^2$

La velocidad es nula en los extremos y máxima al pasar por la posición de equilibrio, como muestra la gráfica durante un período completo, es decir, hasta $t=2\,\text{s}$.



La boya se mueve con una velocidad máxima de $0{,}628\,\text{m/s}$ y una aceleración máxima de $1{,}97\,\text{m/s}^2$.