Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2023

Desde la playa, observamos que la distancia entre las crestas de dos olas consecutivas es de $4\text{ m}$. Por otra parte, observando una de las boyas que limita la zona de baño, contamos que oscila 30 veces en un minuto y que su desplazamiento vertical total, desde la posición más baja hasta el punto más alto, es de $40\text{ cm}$.

a) Determine la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas. Escriba la ecuación que describe el movimiento de la boya en función del tiempo. [1,25 puntos]

b) Deduzca la expresión de la velocidad y la aceleración de la boya y calcule los valores máximos de la velocidad y de la aceleración. Represente la evolución de la velocidad respecto al tiempo durante un período. [1,25 puntos]

Nota: para determinar la fase inicial considere que al principio la boya se encuentra en la posición más alta.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{frecuencia,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{longitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas.}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{describe}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{movimiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{boya}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La distancia entre dos crestas consecutivas es, por definición, la longitud de onda:

$\lambda =4\text{m}$

La boya oscila con el paso de las olas, así que su período es el de la onda:

$T=\frac{60\text{ s}}{30\text{ oscilaciones}}=2\text{s}$

$f=\frac{1}{T}=\mathrm{0,5}\text{Hz}$

La velocidad de propagación es el producto de la longitud de onda por la frecuencia:

$v=\lambda f=4\cdot \mathrm{0,5}=2\text{m/s}$

El desplazamiento vertical total entre la posición más baja y la más alta es el doble de la amplitud:

$2A=40\text{ cm}\Rightarrow A=20\text{ cm}=\mathrm{0,20}\text{m}$

$\omega =2\pi f=\pi \text{rad/s}$

Como en el instante inicial la boya está en la posición más alta, $y(0)=+A$, y con la función coseno la fase inicial es nula:

$y(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_0)\Rightarrow A=A\cos {\phi }_0\Rightarrow {\phi }_0=0$

$y(t)=\mathrm{0,20}\cos (\pi t)\text{ m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Deduzca}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{boya}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximos.}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{evoluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{per}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{odo.}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo:

$v(t)=\frac{dy}{dt}=-A\omega \sin (\omega t)=-\mathrm{0,20}\pi \sin (\pi t)\text{ m/s}$

Y la aceleración, la derivada de la velocidad:

$a(t)=\frac{dv}{dt}=-A{\omega }^2\cos (\omega t)=-\mathrm{0,20}{\pi }^2\cos (\pi t){\text{m/s}}^2$

Los valores máximos se alcanzan cuando el seno y el coseno valen la unidad:

$v_{\max }=A\omega =\mathrm{0,20}\pi =\mathrm{0,628}\text{m/s}$

$a_{\max }=A{\omega }^2=\mathrm{0,20}{\pi }^2=\mathrm{1,97}{\text{m/s}}^2$

La velocidad es nula en los extremos y máxima al pasar por la posición de equilibrio, como muestra la gráfica durante un período completo, es decir, hasta $t=2\text{s}$.



La boya se mueve con una velocidad máxima de $\mathrm{0,628}\text{m/s}$ y una aceleración máxima de $\mathrm{1,97}{\text{m/s}}^2$.