Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2023

Un hilo conductor muy largo sigue el eje $z$ y transporta una corriente $I = 2{,}00\ \text{A}$. Cuando llega a la altura de $z = 0{,}00\ \text{cm}$ cambia de dirección y traza una circunferencia en el plano $xy$, de radio $R = 2{,}00\ \text{cm}$ y centrada en el punto $(0,R,0)$, y después continúa por el eje $z$.



a) Calcule el vector y el módulo del campo magnético total en el centro de la circunferencia, es decir, en el punto $(0,R,0)$. [1,25 puntos]

b) Podemos girar a voluntad la espira respecto al eje $y$. ¿En qué dirección hemos de orientarla para obtener el módulo del campo magnético mínimo y el módulo del campo magnético máximo? Halle estos dos valores del módulo del campo magnético y especifique el plano donde está la espira y el sentido de giro de la corriente en cada caso. [1,25 puntos]

Datos: el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; el módulo del campo magnético creado en el centro de una espira de radio $R$ por la que circula una corriente $I$ es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$; $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$.

$\textbf{a) Calcule el vector y el módulo del campo magnético total en el centro de la circunferencia, es decir, en el punto } \boldsymbol{(0,R,0)}\textbf{. (1,25 puntos)}$










En el punto $(0,R,0)$ se superponen dos contribuciones: la del tramo rectilíneo, que coincide con el eje $Z$, y la de la espira circular.

El hilo rectilíneo está a una distancia $R$ del punto. Aplicando la regla de la mano derecha con la corriente en el sentido $+\vec k$ y el punto en el sentido $+\vec{\jmath}$ respecto del hilo, el campo resulta:

$\vec B_{\text{hilo}}=-\frac{\mu_0 I}{2\pi R}\,\vec{\imath}$





En cuanto a la espira, según la figura del enunciado la corriente la recorre en sentido horario vista desde el eje $Z$ positivo, de modo que su campo en el centro apunta en el sentido negativo del eje $Z$:

$\vec B_{\text{espira}}=-\frac{\mu_0 I}{2R}\,\vec k$

Se sustituyen los datos en unidades del Sistema Internacional:

$R=2{,}00\ \text{cm}=2{,}00\cdot10^{-2}\ \text{m}$

$B_{\text{hilo}}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2{,}00}{2\pi\cdot2{,}00\cdot10^{-2}}=2{,}00\cdot10^{-5}\,\text{T}$

$B_{\text{espira}}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2{,}00}{2\cdot2{,}00\cdot10^{-2}}=6{,}28\cdot10^{-5}\,\text{T}$

Por el principio de superposición:

$\vec B=-2{,}00\cdot10^{-5}\,\vec{\imath}-6{,}28\cdot10^{-5}\,\vec k\ \text{T}$

Como las dos componentes son perpendiculares, el módulo es:

$B=\sqrt{\left(2{,}00\cdot10^{-5}\right)^2+\left(6{,}28\cdot10^{-5}\right)^2}$

$B=6{,}59\cdot10^{-5}\,\text{T}$

$\textbf{b) ¿En qué dirección hemos de orientar la espira para obtener el módulo del campo magnético mínimo y el máximo? Halle estos dos valores y especifique el plano de la espira y el sentido de giro de la corriente en cada caso. (1,25 puntos)}$

Al girar la espira alrededor del eje $Y$, el campo del hilo no cambia, porque el hilo no se mueve: sigue valiendo $-2{,}00\cdot10^{-5}\,\vec{\imath}\ \text{T}$. Lo que gira es el campo de la espira, cuyo módulo se mantiene en $6{,}28\cdot10^{-5}\,\text{T}$ y cuya dirección describe el plano $XZ$.

La suma de un vector fijo y otro de módulo constante es máxima cuando ambos son paralelos y del mismo sentido, y mínima cuando son antiparalelos.

i) Módulo mínimo: los dos campos se oponen, de modo que $\vec B_{\text{espira}}$ ha de apuntar en el sentido $+\vec{\imath}$.

$B_{\min}=6{,}28\cdot10^{-5}-2{,}00\cdot10^{-5}=4{,}28\cdot10^{-5}\,\text{T}$

La espira está entonces en el plano $YZ$, y la corriente la recorre en el sentido antihorario vista desde el eje $X$ positivo.

ii) Módulo máximo: los dos campos tienen el mismo sentido, de modo que $\vec B_{\text{espira}}$ ha de apuntar en el sentido $-\vec{\imath}$.

$B_{\max}=6{,}28\cdot10^{-5}+2{,}00\cdot10^{-5}=8{,}28\cdot10^{-5}\,\text{T}$

La espira vuelve a estar en el plano $YZ$, pero ahora la corriente la recorre en el sentido horario vista desde el eje $X$ positivo, es decir, al revés que en el caso anterior.

El campo mínimo es de $4{,}28\cdot10^{-5}\,\text{T}$ y el máximo, de $8{,}28\cdot10^{-5}\,\text{T}$; en ambos casos la espira está en el plano $YZ$ y solo cambia el sentido de la corriente.