Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Los dos satélites de Marte, Fobos y Deimos, llevan el nombre de los hijos gemelos de Afrodita y Ares. En la mitología romana, Ares, dios de la guerra, se identifica con Marte. Los dos satélites tienen forma irregular, pero los podemos aproximar a una esfera de diámetro $22{,}2\ \text{km}$ para Fobos y de $12{,}6\ \text{km}$ para Deimos. Por tanto, comparados con la Luna, que tiene un diámetro de $3\,475\ \text{km}$, son pequeños. El radio orbital medio (distancia entre los centros de los dos objetos) de Fobos alrededor de Marte es de $9\,377\ \text{km}$ y su período de revolución es de 7 horas, 39 minutos y 14 segundos. Sabiendo que el radio orbital medio de Deimos es de $23\,460\ \text{km}$, determine a partir de estos datos:

a) La masa de Marte y la intensidad del campo gravitatorio que Marte crea en su superficie. [1,25 puntos]

b) El período de revolución de Deimos alrededor de Marte y su energía mecánica. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; $M_{\text{Fobos}} = 1{,}10\cdot10^{16}\ \text{kg}$; $M_{\text{Deimos}} = 2{,}00\cdot10^{15}\ \text{kg}$; $R_{\text{Marte}} = 3\,390\ \text{km}$.

Nota: considere que los dos satélites describen una trayectoria circular alrededor de Marte.

$\textbf{a) La masa de Marte y la intensidad del campo gravitatorio que Marte crea en su superficie. (1,25 puntos)}$

La única fuerza que actúa sobre Fobos es la atracción gravitatoria de Marte, y como su órbita es circular esa fuerza hace de fuerza centrípeta. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M\,m_F}{r_F^2}=m_F\,\frac{4\pi^2}{T_F^2}\,r_F$

Simplificando la masa de Fobos y despejando la masa de Marte:

$M=\frac{4\pi^2 r_F^3}{G\,T_F^2}$

Obsérvese que la masa del satélite no interviene, de modo que los datos de $M_{\text{Fobos}}$ y $M_{\text{Deimos}}$ solo hacen falta para la energía del apartado siguiente.

Se pasan los datos a unidades del Sistema Internacional:

$r_F=9\,377\ \text{km}=9{,}377\cdot10^{6}\ \text{m}$

$T_F=7\cdot3600+39\cdot60+14=27\,554\ \text{s}$

$M=\frac{4\pi^2\left(9{,}377\cdot10^{6}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot27\,554^{2}}$

$M=6{,}43\cdot10^{23}\,\text{kg}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie es el campo creado por Marte a una distancia igual a su radio:

$g=\frac{G\,M}{R^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}43\cdot10^{23}}{\left(3{,}390\cdot10^{6}\right)^{2}}$

$g=3{,}73\,\text{m/s}^2$

La masa de Marte es de $6{,}43\cdot10^{23}\,\text{kg}$ y en su superficie el campo gravitatorio vale $3{,}73\,\text{N/kg}$, poco más de la tercera parte del terrestre.

$\textbf{b) El período de revolución de Deimos alrededor de Marte y su energía mecánica. (1,25 puntos)}$

Despejando el período de la misma expresión, que no es sino la tercera ley de Kepler:

$T_D=2\pi\sqrt{\frac{r_D^3}{G\,M}}$

$r_D=23\,460\ \text{km}=2{,}346\cdot10^{7}\ \text{m}$

$T_D=2\pi\sqrt{\frac{\left(2{,}346\cdot10^{7}\right)^3}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}43\cdot10^{23}}}=1{,}09\cdot10^{5}\,\text{s}$

$T_D=\frac{1{,}09\cdot10^{5}}{3600}=30{,}3\ \text{horas}$

Para la energía mecánica se usa la expresión de un satélite en órbita circular, en la que la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial:

$E_M=\frac12\,m_D\,v^2-G\frac{M\,m_D}{r_D}=-\frac{G\,M\,m_D}{2\,r_D}$

$E_M=-\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6{,}43\cdot10^{23}\cdot2{,}00\cdot10^{15}}{2\cdot2{,}346\cdot10^{7}}$

$E_M=-1{,}83\cdot10^{21}\,\text{J}$

Deimos tarda unas $30{,}3\ \text{horas}$ en dar una vuelta a Marte y su energía mecánica es de $-1{,}83\cdot10^{21}\,\text{J}$. Es negativa, como corresponde a un satélite ligado al planeta.