Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

Una masa de $100\ \text{g}$ se hace oscilar colgada de un muelle. Se observa que hace 40 oscilaciones en un minuto y que la diferencia entre la posición más alta y la más baja es de $15\ \text{cm}$.

a) Determine el período, la constante del muelle y la ecuación del movimiento si empezamos a contar el movimiento cuando pasa por la posición más baja. Represente la fuerza elástica durante dos períodos enteros. [1,25 puntos]

b) Calcule la energía mecánica del oscilador armónico y halle la expresión de la energía cinética en función de la posición de la masa. Calcule el módulo de la velocidad cuando la masa está $3\ \text{cm}$ por encima de la posición de equilibrio. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Determine el período, la constante del muelle y la ecuación del movimiento si empezamos a contar el movimiento cuando pasa por la posición más baja. Represente la fuerza elástica durante dos períodos enteros. (1,25 puntos)}$

El período es el tiempo que dura una oscilación completa:

$T=\frac{60\ \text{s}}{40\ \text{oscilaciones}}=1{,}5\,\text{s}$

$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{1{,}5}=4{,}19\,\text{rad/s}$

La diferencia entre la posición más alta y la más baja es el doble de la amplitud:

$2A=15\ \text{cm}\Rightarrow A=7{,}5\ \text{cm}=0{,}075\,\text{m}$

En un oscilador masa-muelle la pulsación depende de la constante elástica y de la masa:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow k=m\,\omega^2=0{,}100\cdot4{,}19^{2}$

$k=1{,}75\,\text{N/m}$

Se empieza a contar el tiempo en la posición más baja, es decir, con $y(0)=-A$. Con la función coseno:

$y(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)\Rightarrow -A=A\cos\varphi_0\Rightarrow \varphi_0=\pi\ \text{rad}$

$y(t)=0{,}075\cos(4{,}19\,t+\pi)\ \text{m}$

La fuerza elástica es la fuerza recuperadora que ejerce el muelle, dada por la ley de Hooke:

$F=-k\,y=-1{,}75\cdot0{,}075\cos(4{,}19\,t+\pi)$

$F(t)=0{,}132\cos(4{,}19\,t)\ \text{N}$

En el instante inicial la masa está en el punto más bajo y la fuerza es máxima y dirigida hacia arriba, tal como muestra la gráfica durante dos períodos completos, es decir, hasta $t=3\,\text{s}$.



$\textbf{b) Calcule la energía mecánica del oscilador armónico y halle la expresión de la energía cinética en función de la posición de la masa. Calcule el módulo de la velocidad cuando la masa está } \boldsymbol{3\ \text{cm}}\textbf{ por encima de la posición de equilibrio. (1,25 puntos)}$

La energía mecánica de un oscilador armónico es constante y coincide con la energía potencial elástica en los extremos, donde la velocidad es nula:

$E_M=\frac12\,k\,A^2=\frac12\cdot1{,}75\cdot0{,}075^{2}$

$E_M=4{,}93\cdot10^{-3}\,\text{J}$

Como la energía mecánica se conserva, la energía cinética es lo que queda al restarle la energía potencial elástica, que depende de la elongación:

$E_c=E_M-E_p=\frac12\,k\,A^2-\frac12\,k\,y^2$

$E_c(y)=\frac12\,k\left(A^2-y^2\right)=0{,}877\left(0{,}075^{2}-y^{2}\right)\ \text{J}$

Para $y=3\ \text{cm}=0{,}03\ \text{m}$:

$E_c=0{,}877\left(0{,}075^{2}-0{,}03^{2}\right)=4{,}15\cdot10^{-3}\,\text{J}$

De la definición de energía cinética se despeja el módulo de la velocidad:

$E_c=\frac12\,m\,v^2\Rightarrow v=\sqrt{\frac{2E_c}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot4{,}15\cdot10^{-3}}{0{,}100}}$

$v=0{,}288\,\text{m/s}$

La energía mecánica del oscilador es de $4{,}93\cdot10^{-3}\,\text{J}$ y, a $3\,\text{cm}$ de la posición de equilibrio, la masa se mueve con una celeridad de $0{,}288\,\text{m/s}$.