Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2024

En el yacimiento neolítico de la Draga (Banyoles) se utiliza el método del carbono 14 $({}^{14}\text{C})$ para la datación de restos. El ${}^{14}\text{C}$ es un isótopo radiactivo que se produce en la atmósfera de manera continuada cuando neutrones provenientes de los rayos cósmicos chocan con los núcleos de nitrógeno $({}^{14}\text{N})$. Los seres vivos lo incorporamos al organismo mientras interactuamos con la atmósfera, pero, a partir del momento de la muerte, el ${}^{14}\text{C}$ comienza a desintegrarse nuevamente en ${}^{14}\text{N}$, con un período de semidesintegración de $5\,730$ años. La datación de una muestra de hueso de animal del sector D de la Draga es de $6\,010$ años.

a) Escriba la reacción nuclear que corresponde al decaimiento del ${}^{14}\text{C}$ a ${}^{14}\text{N}$, incluyendo los antineutrinos. Justifique de qué tipo de reacción nuclear se trata. A partir de la ecuación de la desintegración, determine la relación entre la constante de desintegración $\lambda$ y el período de semidesintegración. [1,25 puntos]

b) Calcule la constante de desintegración $\lambda$ del ${}^{14}\text{C}$. Determine qué porcentaje de ${}^{14}\text{C}$ permanece todavía en la muestra de hueso del sector D respecto al ${}^{14}\text{C}$ que había cuando el organismo estaba vivo. Calcule la actividad del hueso en el momento de morir el animal si actualmente la actividad del hueso es de $3{,}63\ \text{Bq}$. [1,25 puntos]

Datos: el número atómico del carbono es $Z = 6$; el número atómico del nitrógeno es $Z = 7$.

$\textbf{a) Escriba la reacción nuclear que corresponde al decaimiento del } \boldsymbol{{}^{14}\text{C}}\textbf{ a } \boldsymbol{{}^{14}\text{N}}\textbf{, incluyendo los antineutrinos. Justifique de qué tipo de reacción nuclear se trata. Determine la relación entre } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ y el período de semidesintegración. (1,25 puntos)}$

Conservando el número másico y el número atómico, y teniendo en cuenta que el nitrógeno tiene una unidad más de carga nuclear que el carbono, la reacción es:

${}^{14}_{\ 6}\text{C}\rightarrow{}^{14}_{\ 7}\text{N}+{}^{\ \ 0}_{-1}e+\bar\nu_e$

Se trata de una desintegración beta negativa: dentro del núcleo un neutrón se transforma en un protón, y se emiten un electrón y un antineutrino electrónico. El número másico no cambia y el número atómico aumenta en una unidad.

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar disminuye exponencialmente:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

Por definición, el período de semidesintegración es el tiempo que ha de transcurrir para que quede la mitad de los núcleos iniciales:

$\frac{N_0}{2}=N_0\,e^{-\lambda T_{1/2}}$

$\frac12=e^{-\lambda T_{1/2}}$

Tomando logaritmos neperianos en ambos miembros:

$-\ln 2=-\lambda\,T_{1/2}$

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$

$\textbf{b) Calcule la constante de desintegración } \boldsymbol{\lambda}\textbf{ del } \boldsymbol{{}^{14}\text{C}}\textbf{. Determine qué porcentaje permanece en la muestra del sector D. Calcule la actividad del hueso en el momento de morir el animal si actualmente es de } \boldsymbol{3{,}63\ \text{Bq}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

De la relación obtenida en el apartado anterior:

$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{\ln 2}{5\,730}=1{,}21\cdot10^{-4}\ \text{años}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional:

$\lambda=\frac{1{,}21\cdot10^{-4}}{365{,}25\cdot86\,400}=3{,}83\cdot10^{-12}\,\text{s}^{-1}$

La fracción de núcleos que quedan al cabo de $6\,010$ años es:

$\frac{N}{N_0}=e^{-\lambda t}=e^{-1{,}21\cdot10^{-4}\cdot6\,010}=0{,}483$

$\frac{N}{N_0}=48{,}3\ \%$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, $A=\lambda N$, de modo que decae siguiendo la misma ley:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow A_0=\frac{A}{e^{-\lambda t}}=\frac{3{,}63}{0{,}483}$

$A_0=7{,}51\,\text{Bq}$

En la muestra queda un $48{,}3\ \%$ del ${}^{14}\text{C}$ inicial, y la actividad del hueso en el momento de la muerte del animal era de $7{,}51\,\text{Bq}$. El resultado es coherente: han transcurrido algo más de $5\,730$ años, es decir, algo más de un período de semidesintegración, y por eso queda algo menos de la mitad de la actividad inicial.