Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Cataluña · 2024

Un ojo hipermétrope no es capaz de enfocar objetos próximos en la retina, sino que los enfoca detrás de esta, y por eso los ve borrosos. Anna no es capaz de enfocar bien los objetos que están más cerca de $70\ \text{cm}$ y necesita unas gafas con lentes convergentes para leer.

a) Anna normalmente sitúa el libro a $35\ \text{cm}$ y la imagen creada por la lente ha de estar a $70\ \text{cm}$ para que la pueda enfocar correctamente. Calcule la distancia focal de la lente correctora y su potencia. [1,25 puntos]

b) Calcule dónde se formará la imagen de un objeto de $10\ \text{cm}$ de altura situado a $25\ \text{cm}$ delante de una lente convergente de $20\ \text{cm}$ de distancia focal. Calcule también el tamaño de la imagen y mencione sus características (mayor o menor, real o virtual, derecha o invertida). Dibuje el diagrama de rayos con la lente, el objeto y la imagen. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Anna sitúa el libro a } \boldsymbol{35\ \text{cm}}\textbf{ y la imagen creada por la lente ha de estar a } \boldsymbol{70\ \text{cm}}\textbf{ para que la pueda enfocar correctamente. Calcule la distancia focal de la lente correctora y su potencia. (1,25 puntos)}$

La lente correctora ha de tomar el objeto situado a $35\,\text{cm}$ y formar de él una imagen virtual a $70\,\text{cm}$, que es la distancia mínima a la que Anna enfoca bien.

Con el criterio de signos habitual, las distancias se miden desde la lente y son negativas a la izquierda de ella. Tanto el objeto como la imagen virtual están a la izquierda:

$s=-0{,}35\,\text{m}\qquad s'=-0{,}70\,\text{m}$

Aplicando la ecuación de las lentes delgadas:

$\frac{1}{s'}-\frac{1}{s}=\frac{1}{f'}$

$\frac{1}{-0{,}70}-\frac{1}{-0{,}35}=\frac{1}{f'}$

$-1{,}43+2{,}86=\frac{1}{f'}\Rightarrow \frac{1}{f'}=1{,}43\ \text{m}^{-1}$

$f'=0{,}70\,\text{m}$

La potencia de la lente es la inversa de la distancia focal imagen expresada en metros:

$P=\frac{1}{f'}=\frac{1}{0{,}70}=1{,}43\,\text{D}$

La distancia focal de la lente correctora es de $0{,}70\,\text{m}$ y su potencia, de $1{,}43\,\text{dioptrías}$. Es positiva, tal como corresponde a una lente convergente.

$\textbf{b) Calcule dónde se formará la imagen de un objeto de } \boldsymbol{10\ \text{cm}}\textbf{ de altura situado a } \boldsymbol{25\ \text{cm}}\textbf{ delante de una lente convergente de } \boldsymbol{20\ \text{cm}}\textbf{ de distancia focal. Calcule el tamaño de la imagen y sus características. Dibuje el diagrama de rayos. (1,25 puntos)}$

Los datos, con el mismo criterio de signos, son:

$s=-25\ \text{cm}\qquad f'=+20\ \text{cm}\qquad y=10\ \text{cm}$

De la ecuación de las lentes delgadas se despeja la posición de la imagen:

$\frac{1}{s'}=\frac{1}{f'}+\frac{1}{s}=\frac{1}{20}+\frac{1}{-25}$

$\frac{1}{s'}=0{,}05-0{,}04=0{,}01\ \text{cm}^{-1}$

$s'=100\,\text{cm}$

El aumento lateral es el cociente entre las distancias imagen y objeto:

$\beta=\frac{y'}{y}=\frac{s'}{s}=\frac{100}{-25}=-4$

$y'=\beta\,y=-4\cdot10=-40\,\text{cm}$



La imagen se forma $100\,\text{cm}$ detrás de la lente y mide $40\,\text{cm}$. Es real, porque $s'$ es positiva y los rayos convergen realmente en ella; es invertida, porque el aumento es negativo; y es mayor que el objeto, porque el valor absoluto del aumento es superior a la unidad.