Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2024

El experimento de Oersted, hecho en 1820, consiste en un hilo conductor paralelo a la componente horizontal del campo magnético terrestre por donde pasa una corriente eléctrica y una aguja magnética justo encima o debajo del hilo. Oersted observó que la orientación de la aguja cambiaba si el hilo conectado estaba situado encima o debajo de la aguja.

En la figura no sabemos si el hilo conductor está situado por encima o por debajo de la brújula.


Figura. a) Circuito abierto. b) Circuito cerrado.

a) Represente sobre la aguja de la brújula del dibujo b de la figura los vectores del campo magnético terrestre $(B_{\text{Tierra}})$ y del campo magnético generado por el hilo $(B_{\text{hilo}})$. Argumente si la brújula del dibujo b de la figura está situada encima o debajo del hilo conductor en este caso. [1,25 puntos]

b) En este montaje experimental, la separación entre la brújula y el hilo es de $10\ \text{cm}$. Observamos que la aguja de la brújula forma un ángulo de $45^\circ$ con la dirección de la corriente eléctrica cuando circulan $20\ \text{A}$ por el hilo conductor. Calcule la componente horizontal del campo magnético terrestre $(B_{\text{Tierra}})$. [1,25 puntos]

Datos: el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$.

$\textbf{a) Represente sobre la aguja de la brújula del dibujo b los vectores } \boldsymbol{B_{\text{Tierra}}}\textbf{ y } \boldsymbol{B_{\text{hilo}}}\textbf{. Argumente si la brújula está situada encima o debajo del hilo conductor. (1,25 puntos)}$










Con el circuito abierto (dibujo a) la aguja señala el norte: solo actúa la componente horizontal del campo magnético terrestre, $\vec B_{\text{Tierra}}$, dirigida hacia el norte.

Con el circuito cerrado (dibujo b) aparece además el campo del hilo, $\vec B_{\text{hilo}}$, perpendicular al hilo. La aguja se orienta según la resultante de ambos.





En el dibujo b la aguja apunta hacia el nordeste, de modo que la componente que aporta el hilo está dirigida hacia el este.

Ahora se aplica la regla de la mano derecha. En el tramo del circuito donde está la brújula la corriente circula hacia arriba, es decir, hacia el norte. Se compara con las dos posibilidades:

i) Si la brújula estuviese debajo del hilo, el campo del hilo en su posición apuntaría hacia el oeste y la aguja se desviaría hacia el noroeste.

ii) Si la brújula estuviese encima del hilo, el campo del hilo apuntaría hacia el este y la aguja se desviaría hacia el nordeste.

Como en el dibujo b la desviación es hacia el nordeste, la brújula está situada encima del hilo conductor, es decir, el hilo pasa por debajo de la aguja.

$\textbf{b) La separación entre la brújula y el hilo es de } \boldsymbol{10\ \text{cm}}\textbf{ y la aguja forma un ángulo de } \boldsymbol{45^\circ}\textbf{ con la dirección de la corriente cuando circulan } \boldsymbol{20\ \text{A}}\textbf{. Calcule } \boldsymbol{B_{\text{Tierra}}}\textbf{. (1,25 puntos)}$

El campo magnético creado por el hilo en la posición de la aguja es:

$B_{\text{hilo}}=\frac{\mu_0\,I}{2\pi r}=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot20}{2\pi\cdot0{,}10}$

$B_{\text{hilo}}=4{,}00\cdot10^{-5}\,\text{T}$

Los dos campos son perpendiculares entre sí: $\vec B_{\text{Tierra}}$ tiene la dirección del hilo y $\vec B_{\text{hilo}}$ es perpendicular a él. La aguja se alinea con la resultante, que forma con la dirección de la corriente un ángulo dado por:

$\tan\alpha=\frac{B_{\text{hilo}}}{B_{\text{Tierra}}}$

Despejando y sustituyendo $\alpha=45^\circ$:

$B_{\text{Tierra}}=\frac{B_{\text{hilo}}}{\tan 45^\circ}=\frac{4{,}00\cdot10^{-5}}{1}$

$B_{\text{Tierra}}=4{,}00\cdot10^{-5}\,\text{T}$

La componente horizontal del campo magnético terrestre vale $4{,}00\cdot10^{-5}\,\text{T}$, es decir, $40\,\mu\text{T}$. Que el ángulo sea exactamente de $45^\circ$ indica que ambos campos tienen el mismo módulo.