Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2024

Dos altavoces están separados entre sí una distancia $2d$ y emiten una señal armónica y en fase. Producimos el sonido con un generador de señales que podemos ajustar entre los $200$ y los $400\ \text{Hz}$. La persona A está situada a $d_1 = 5{,}00\ \text{m}$ del altavoz 1 y a $d_2 = 8{,}68\ \text{m}$ del altavoz 2. Una segunda persona B está situada a $d'_1 = 8{,}14\ \text{m}$ del altavoz 1 y a $d'_2 = 4{,}00\ \text{m}$ del altavoz 2.



a) Calcule todas las frecuencias que podemos escoger en el generador para que la persona A oiga las señales con una intensidad máxima. ¿Qué frecuencia de las anteriores hemos de escoger para que la persona A oiga la señal con intensidad máxima y la persona B no la pueda oír (es decir, la oiga con intensidad mínima)? [1,25 puntos]

b) Ahora emitimos música por los dos altavoces con una potencia de $2{,}36\cdot10^{-3}\ \text{W}$ cada uno. Calcule la intensidad sonora generada por cada altavoz en la posición de la persona A. Determine el nivel de intensidad sonora que percibe esta persona. [1,25 puntos]

Nota: considere que las ondas sonoras se propagan en las tres dimensiones del espacio y que su energía se distribuye en superficies esféricas.

Datos: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$; velocidad del sonido en el aire: $340\ \text{m/s}$; superficie esférica: $4\pi r^2$.

$\textbf{a) Calcule todas las frecuencias que podemos escoger en el generador para que la persona A oiga las señales con una intensidad máxima. ¿Qué frecuencia hemos de escoger para que la persona A la oiga con intensidad máxima y la persona B con intensidad mínima? (1,25 puntos)}$

Los dos altavoces emiten en fase, de modo que en un punto cualquiera las dos ondas llegan con un desfase que solo depende de la diferencia de caminos. Por el principio de superposición, la interferencia es constructiva cuando esa diferencia es un número entero de longitudes de onda:

$\Delta_A=|d_2-d_1|=8{,}68-5{,}00=3{,}68\,\text{m}$

$\Delta_A=n\,\lambda\Rightarrow \lambda=\frac{3{,}68}{n}$

Como la longitud de onda y la frecuencia están ligadas por la velocidad del sonido:

$f=\frac{v}{\lambda}=\frac{340\,n}{3{,}68}=92{,}4\,n\ \text{Hz}$

Se buscan los valores enteros de $n$ que dan una frecuencia dentro del intervalo del generador:

$n=2\Rightarrow f=184{,}8\ \text{Hz}\quad(\text{fuera del intervalo})$

$n=3\Rightarrow f=277{,}2\,\text{Hz}$

$n=4\Rightarrow f=369{,}6\,\text{Hz}$

$n=5\Rightarrow f=462{,}0\ \text{Hz}\quad(\text{fuera del intervalo})$

Las dos frecuencias posibles son, por tanto, $277{,}2\,\text{Hz}$ y $369{,}6\,\text{Hz}$.

Para que la persona B no oiga nada, la interferencia en su posición ha de ser destructiva, es decir, la diferencia de caminos ha de ser un número impar de semilongitudes de onda:

$\Delta_B=|d'_1-d'_2|=8{,}14-4{,}00=4{,}14\,\text{m}$

Se comprueba cada una de las dos frecuencias anteriores:

$f=277{,}2\ \text{Hz}\Rightarrow \lambda=\frac{340}{277{,}2}=1{,}227\ \text{m}\Rightarrow \frac{\Delta_B}{\lambda}=3{,}375$

$f=369{,}6\ \text{Hz}\Rightarrow \lambda=\frac{340}{369{,}6}=0{,}920\ \text{m}\Rightarrow \frac{\Delta_B}{\lambda}=4{,}5$

Solo la segunda da un número semientero, es decir, cumple $\Delta_B=(2m+1)\frac{\lambda}{2}$ con $m=4$.

La frecuencia buscada es $369{,}6\,\text{Hz}$: con ella A oye un máximo y B, un mínimo.

$\textbf{b) Calcule la intensidad sonora generada por cada altavoz en la posición de la persona A. Determine el nivel de intensidad sonora que percibe esta persona. (1,25 puntos)}$

Como la energía se reparte por igual sobre superficies esféricas, la intensidad a una distancia $r$ de un altavoz es:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

Para el altavoz 1, que está a $d_1=5{,}00\,\text{m}$ de la persona A:

$I_1=\frac{2{,}36\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot5{,}00^{2}}=7{,}51\cdot10^{-6}\,\text{W/m}^2$

Para el altavoz 2, que está a $d_2=8{,}68\,\text{m}$:

$I_2=\frac{2{,}36\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot8{,}68^{2}}=2{,}49\cdot10^{-6}\,\text{W/m}^2$

Ahora los altavoces emiten música, que no es una señal armónica en fase, así que no hay interferencia estable y las intensidades se suman directamente:

$I_{\text{total}}=I_1+I_2=7{,}51\cdot10^{-6}+2{,}49\cdot10^{-6}=1{,}00\cdot10^{-5}\,\text{W/m}^2$

$\beta=10\log\frac{I_{\text{total}}}{I_0}=10\log\frac{1{,}00\cdot10^{-5}}{10^{-12}}$

$\beta=70{,}0\,\text{dB}$

La persona A percibe un nivel de intensidad sonora de $70{,}0\,\text{dB}$.