Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Los sistemas planetarios tienden a formarse en resonancia. Esto quiere decir que, cuando un planeta completa $n$ órbitas, el planeta vecino completa $m$, donde $n$ y $m$ son números enteros. En noviembre de 2023 la revista Nature publicaba el descubrimiento de seis planetas que orbitaban en resonancia alrededor de la estrella HD110067.

a) Supongamos que esta estrella tiene la masa del Sol y que los planetas tienen órbitas circulares. El sexto planeta, el más exterior, tiene un período de $54{,}7$ días. Calcule la distancia entre el planeta y la estrella. Represente la estrella y el planeta, dibuje el vector aceleración normal y calcule su módulo. [1,25 puntos]

b) El quinto planeta completa 4 órbitas en el mismo tiempo que el sexto planeta completa 3 (relación 4:3). Calcule el radio de la órbita del quinto planeta y su energía mecánica suponiendo que su masa es $2{,}5$ veces la terrestre. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$; masa del Sol, $M_S = 1{,}98\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Supongamos que esta estrella tiene la masa del Sol y que los planetas tienen órbitas circulares. El sexto planeta tiene un período de } \boldsymbol{54{,}7}\textbf{ días. Calcule la distancia entre el planeta y la estrella. Represente la estrella y el planeta, dibuje el vector aceleración normal y calcule su módulo. (1,25 puntos)}$










La única fuerza que actúa sobre el planeta es la atracción gravitatoria de la estrella, que es también la fuerza centrípeta de su movimiento circular uniforme. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$G\frac{M_S\,m}{r^2}=m\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$

Simplificando la masa del planeta y despejando el radio se obtiene la tercera ley de Kepler:

$r=\sqrt[3]{\frac{G\,M_S\,T^2}{4\pi^2}}$





El vector aceleración normal está dirigido en todo momento desde el planeta hacia la estrella, como se indica en la figura.

Se sustituyen los datos del enunciado en unidades del Sistema Internacional:

$T=54{,}7\ \text{días}\cdot\frac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=4{,}73\cdot10^{6}\,\text{s}$

$r=\sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}98\cdot10^{30}\cdot\left(4{,}73\cdot10^{6}\right)^2}{4\pi^2}}$

$r=4{,}21\cdot10^{10}\,\text{m}$

El módulo de la aceleración normal es el de la aceleración que produce la fuerza gravitatoria:

$a_n=\frac{G\,M_S}{r^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}98\cdot10^{30}}{\left(4{,}21\cdot10^{10}\right)^2}$

$a_n=7{,}44\cdot10^{-2}\,\text{m/s}^2$

El sexto planeta orbita a $4{,}21\cdot10^{10}\,\text{m}$ de la estrella con una aceleración normal de $7{,}44\cdot10^{-2}\,\text{m/s}^2$.

$\textbf{b) El quinto planeta completa 4 órbitas en el mismo tiempo que el sexto completa 3. Calcule el radio de la órbita del quinto planeta y su energía mecánica suponiendo que su masa es } \boldsymbol{2{,}5}\textbf{ veces la terrestre. (1,25 puntos)}$

Que el quinto planeta dé 4 vueltas mientras el sexto da 3 significa que ambos tardan lo mismo en hacerlo:

$4\,T_5=3\,T_6\Rightarrow T_5=\frac34\,T_6=\frac34\cdot4{,}73\cdot10^{6}=3{,}54\cdot10^{6}\,\text{s}$

Aplicando de nuevo la tercera ley de Kepler:

$r_5=\sqrt[3]{\frac{G\,M_S\,T_5^2}{4\pi^2}}=\sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}98\cdot10^{30}\cdot\left(3{,}54\cdot10^{6}\right)^2}{4\pi^2}}$

$r_5=3{,}48\cdot10^{10}\,\text{m}$

Como se vio en el apartado anterior, para una órbita circular la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la energía potencial, de modo que la energía mecánica vale:

$E_M=-\frac{G\,M_S\,m_5}{2\,r_5}$

La masa del quinto planeta es:

$m_5=2{,}5\,M_T=2{,}5\cdot5{,}98\cdot10^{24}=1{,}50\cdot10^{25}\,\text{kg}$

$E_M=-\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot1{,}98\cdot10^{30}\cdot1{,}50\cdot10^{25}}{2\cdot3{,}48\cdot10^{10}}$

$E_M=-2{,}84\cdot10^{34}\,\text{J}$

El quinto planeta orbita a $3{,}48\cdot10^{10}\,\text{m}$ de la estrella, más cerca que el sexto por tener un período menor, y su energía mecánica es de $-2{,}84\cdot10^{34}\,\text{J}$.