Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · Cataluña · 2024

Observamos que en una muestra metálica aparece el efecto fotoeléctrico cuando la iluminamos con luz monocromática de longitudes de onda más pequeñas o iguales a $650\ \text{nm}$.

a) Calcule el trabajo de extracción del metal. Determine el potencial de frenado si iluminamos el metal con luz de $300\ \text{nm}$. [1,25 puntos]

b) Halle la expresión de la velocidad de los electrones en función de la longitud de onda incidente para este metal. Calcule la velocidad de los electrones para una longitud de onda incidente de $500\ \text{nm}$ y la longitud de onda de De Broglie asociada a estos electrones. [1,25 puntos]

Datos: $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \text{m s}^{-1}$; $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; $h = 6{,}626\cdot10^{-34}\ \text{J s}$.

$\textbf{a) Calcule el trabajo de extracción del metal. Determine el potencial de frenado si iluminamos el metal con luz de } \boldsymbol{300\ \text{nm}}\textbf{. (1,25 puntos)}$










El efecto fotoeléctrico solo aparece si la energía del fotón incidente iguala o supera el trabajo de extracción del metal. La longitud de onda mayor que todavía lo produce es, por tanto, la longitud de onda umbral:

$\lambda_0=650\ \text{nm}=650\cdot10^{-9}\,\text{m}$

$W_0=h\,f_0=h\frac{c}{\lambda_0}$





Sustituyendo los datos del enunciado:

$W_0=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{650\cdot10^{-9}}=3{,}06\cdot10^{-19}\,\text{J}$

$W_0=3{,}06\cdot10^{-19}\ \text{J}\cdot\frac{1\ \text{eV}}{1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{J}}=1{,}91\,\text{eV}$

Al iluminar con luz de $300\,\text{nm}$, la energía del fotón es:

$E_f=h\frac{c}{\lambda}=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{300\cdot10^{-9}}=6{,}63\cdot10^{-19}\,\text{J}$

Aplicando la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico, la energía sobrante es la energía cinética máxima de los electrones emitidos:

$E_{c,\text{máx}}=E_f-W_0=6{,}63\cdot10^{-19}-3{,}06\cdot10^{-19}=3{,}57\cdot10^{-19}\,\text{J}$

El potencial de frenado es el voltaje que hay que aplicar para detener a los electrones más rápidos, es decir, aquel cuyo trabajo eléctrico iguala esa energía cinética:

$|e|\,V_0=E_{c,\text{máx}}\Rightarrow V_0=\frac{3{,}57\cdot10^{-19}}{1{,}602\cdot10^{-19}}$

$V_0=2{,}23\,\text{V}$

El trabajo de extracción del metal es de $1{,}91\,\text{eV}$ y el potencial de frenado con luz de $300\,\text{nm}$ es de $2{,}23\,\text{V}$.

$\textbf{b) Halle la expresión de la velocidad de los electrones en función de la longitud de onda incidente. Calcule la velocidad de los electrones para una longitud de onda incidente de } \boldsymbol{500\ \text{nm}}\textbf{ y la longitud de onda de De Broglie asociada a estos electrones. (1,25 puntos)}$

La energía cinética máxima de los electrones emitidos es la del fotón menos el trabajo de extracción:

$\frac12\,m_e\,v^{2}=h\frac{c}{\lambda}-h\frac{c}{\lambda_0}$

Despejando la velocidad:

$v=\sqrt{\frac{2hc}{m_e}\left(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda_0}\right)}$

Para $\lambda=500\ \text{nm}$ la energía del fotón es:

$E_f=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{500\cdot10^{-9}}=3{,}98\cdot10^{-19}\,\text{J}$

$E_{c,\text{máx}}=3{,}98\cdot10^{-19}-3{,}06\cdot10^{-19}=9{,}17\cdot10^{-20}\,\text{J}$

$v=\sqrt{\frac{2\cdot9{,}17\cdot10^{-20}}{9{,}11\cdot10^{-31}}}=4{,}49\cdot10^{5}\,\text{m/s}$

La velocidad obtenida es muy inferior a la de la luz, así que el tratamiento clásico de la energía cinética está justificado.

La longitud de onda de De Broglie asociada a una partícula es el cociente entre la constante de Planck y su cantidad de movimiento:

$\lambda_{dB}=\frac{h}{p}=\frac{h}{m_e\,v}=\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot4{,}49\cdot10^{5}}$

$\lambda_{dB}=1{,}62\cdot10^{-9}\,\text{m}=1{,}62\,\text{nm}$

Los electrones salen con una velocidad de $4{,}49\cdot10^{5}\,\text{m/s}$ y llevan asociada una longitud de onda de De Broglie de $1{,}62\,\text{nm}$.