Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Cataluña · 2024

El polonio $(Z = 84)$ fue descubierto en 1898 por Marie Sklodowska-Curie y Pierre Curie. El isótopo de polonio con un tiempo de semidesintegración más largo es el Po-210, que lo tiene de $138\ \text{días}$. Se desintegra por emisión de una partícula alfa y origina un isótopo estable de plomo (Pb).

a) Escriba la desintegración del Po-210. Si la actividad inicial por unidad de masa del Po-210 es de $1{,}66\cdot10^{14}\ \text{Bq/g}$, ¿cuál será la actividad de $5\ \text{mg}$ de este elemento al cabo de una semana? [1,25 puntos]

b) Los núcleos de helio que se producen en las desintegraciones alfa no tardan en captar dos electrones. Supongamos que se forma un átomo de helio en dos pasos bien diferenciados. En primer lugar, se transporta desde una distancia muy grande un primer electrón hasta $0{,}6\cdot10^{-10}\ \text{m}$ de la partícula alfa y se mantiene allí. Posteriormente, un segundo electrón se lleva al otro lado de la partícula alfa hasta $0{,}6\cdot10^{-10}\ \text{m}$. La configuración final se muestra en la figura.



Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico en cada uno de los dos pasos. ¿Cuál es la energía potencial electrostática de la configuración final? [1,25 puntos]

Datos: $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$.

$\textbf{a) Escriba la desintegración del Po-210. Si la actividad inicial por unidad de masa del Po-210 es de } \boldsymbol{1{,}66\cdot10^{14}\ \text{Bq/g}}\textbf{, ¿cuál será la actividad de } \boldsymbol{5\ \text{mg}}\textbf{ de este elemento al cabo de una semana? (1,25 puntos)}$

En una desintegración alfa el núcleo emite una partícula $\alpha$, que es un núcleo de helio. Aplicando la conservación del número másico y del número atómico:

${}^{210}_{\ 84}\text{Po}\rightarrow{}^{4}_{2}\text{He}+{}^{206}_{\ 82}\text{Pb}$

El isótopo estable de plomo que se origina es, por tanto, el Pb-206.

La actividad inicial de la muestra es la actividad por gramo multiplicada por su masa:

$A_0=1{,}66\cdot10^{14}\cdot5\cdot10^{-3}=8{,}30\cdot10^{11}\,\text{Bq}$

La constante de desintegración se obtiene del período de semidesintegración:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\frac{\ln 2}{138}=5{,}02\cdot10^{-3}\ \text{días}^{-1}$

Aplicando la ley de desintegración radiactiva para $t=7\ \text{días}$:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}=8{,}30\cdot10^{11}\cdot e^{-5{,}02\cdot10^{-3}\cdot7}$

$A=8{,}01\cdot10^{11}\,\text{Bq}$

Al cabo de una semana la actividad de los $5\,\text{mg}$ de Po-210 es de $8{,}01\cdot10^{11}\,\text{Bq}$; apenas ha disminuido un $3{,}5\ \%$, porque una semana es mucho menor que el período de semidesintegración.

$\textbf{b) Calcule el trabajo realizado por el campo eléctrico en cada uno de los dos pasos. ¿Cuál es la energía potencial electrostática de la configuración final? (1,25 puntos)}$

La partícula alfa tiene carga $+2e$ y cada electrón, $-e$. La energía potencial electrostática de una pareja de cargas separadas una distancia $r$ es:

$E_p=k\frac{q_1q_2}{r}$

El trabajo que realiza el campo eléctrico es igual a la disminución de la energía potencial del sistema. Como se parte del infinito, donde la energía potencial es nula:

$W=-\Delta E_p=E_{p,\text{inicial}}-E_{p,\text{final}}$

Primer paso: solo aparece la pareja formada por la partícula alfa y el primer electrón, separados $d=0{,}6\cdot10^{-10}\,\text{m}$.

$E_{p,1}=k\frac{(2e)(-e)}{d}=-\frac{2ke^{2}}{d}$

$W_1=0-\left(-\frac{2ke^{2}}{d}\right)=\frac{2ke^{2}}{d}=\frac{2\cdot8{,}99\cdot10^{9}\cdot\left(1{,}602\cdot10^{-19}\right)^{2}}{0{,}6\cdot10^{-10}}$

$W_1=7{,}69\cdot10^{-18}\,\text{J}$

Segundo paso: al traer el segundo electrón aparecen dos parejas nuevas, la que forma con la partícula alfa (a distancia $d$) y la que forma con el primer electrón (a distancia $2d$, porque están a lados opuestos).

$\Delta E_{p,2}=k\frac{(2e)(-e)}{d}+k\frac{(-e)(-e)}{2d}=-\frac{2ke^{2}}{d}+\frac{ke^{2}}{2d}$

$W_2=-\Delta E_{p,2}=\frac{2ke^{2}}{d}-\frac{ke^{2}}{2d}=7{,}69\cdot10^{-18}-1{,}92\cdot10^{-18}$

$W_2=5{,}77\cdot10^{-18}\,\text{J}$

El trabajo del segundo paso es menor que el del primero porque la repulsión entre los dos electrones se opone al acercamiento.

La energía potencial de la configuración final es la suma de las tres parejas de cargas:

$E_{p,\text{final}}=-\frac{2ke^{2}}{d}-\frac{2ke^{2}}{d}+\frac{ke^{2}}{2d}$

$E_{p,\text{final}}=-7{,}69\cdot10^{-18}-7{,}69\cdot10^{-18}+1{,}92\cdot10^{-18}$

$E_{p,\text{final}}=-1{,}35\cdot10^{-17}\,\text{J}$

El resultado es coherente: la energía potencial final es igual y de signo contrario al trabajo total realizado por el campo, $W_1+W_2=1{,}35\cdot10^{-17}\,\text{J}$. Al ser negativa, el átomo de helio formado es un sistema ligado.