Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Cataluña · 2024

Ainhoa está intrigada por saber a qué altura explotan los cohetes lanzados en la verbena de San Juan. Para poder determinarlo se sitúa a una distancia de $50\ \text{m}$ del punto donde se lanzan los cohetes y registra, con un sonómetro, un nivel de intensidad sonora de $100\ \text{decibelios}$ en la explosión de un cohete que no se ha elevado.

a) ¿Qué potencia sonora emite el cohete en el momento de la explosión? Si la explosión ha durado $0{,}03\ \text{s}$, ¿qué energía sonora se ha liberado? [1,25 puntos]

b) Desde la misma distancia al punto de lanzamiento, registra $90\ \text{decibelios}$ de intensidad sonora en el caso de un cohete igual al anterior que se ha elevado verticalmente y ha explotado a cierta altura. Calcule a qué altura ha explotado el cohete. Si dos cohetes idénticos al anterior explotan simultáneamente a la misma altura que antes, ¿qué nivel de intensidad sonora percibirá Ainhoa, si está situada en la misma posición de antes? [1,25 puntos]

Nota: considere que las ondas sonoras se propagan en las tres dimensiones del espacio y que su energía se distribuye en superficies esféricas.

Datos: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W m}^{-2}$; la velocidad del sonido en el aire es de $340\ \text{m/s}$; superficie esférica: $4\pi r^2$.

$\textbf{a) ¿Qué potencia sonora emite el cohete en el momento de la explosión? Si la explosión ha durado } \boldsymbol{0{,}03\ \text{s}}\textbf{, ¿qué energía sonora se ha liberado? (1,25 puntos)}$

El nivel de intensidad sonora se define a partir de la intensidad mediante una escala logarítmica:

$\beta=10\log\frac{I}{I_0}$

Se despeja la intensidad que corresponde a los $100\,\text{dB}$ medidos a $50\,\text{m}$:

$I_1=I_0\cdot10^{\beta/10}=10^{-12}\cdot10^{10}=10^{-2}\,\text{W/m}^2$

Como la energía se reparte por igual sobre superficies esféricas, la potencia del foco es la intensidad multiplicada por el área de la esfera de radio $50\,\text{m}$:

$P=I_1\cdot4\pi r_1^{2}=10^{-2}\cdot4\pi\cdot50^{2}$

$P=314\,\text{W}$

La energía liberada es la potencia por el tiempo que dura la emisión:

$E=P\cdot t=314\cdot0{,}03=9{,}42\,\text{J}$

El cohete emite una potencia sonora de $314\,\text{W}$ y libera una energía sonora de $9{,}42\,\text{J}$.

$\textbf{b) Calcule a qué altura ha explotado el cohete. Si dos cohetes idénticos explotan simultáneamente a la misma altura, ¿qué nivel de intensidad sonora percibirá Ainhoa? (1,25 puntos)}$










El segundo cohete es igual al primero, de modo que emite la misma potencia sonora. Lo que cambia es la distancia hasta Ainhoa, que ahora es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman la altura de la explosión y los $50\,\text{m}$ del suelo.

La intensidad que corresponde a los $90\,\text{dB}$ registrados es:

$I_2=10^{-12}\cdot10^{9}=10^{-3}\,\text{W/m}^2$





De la relación entre potencia e intensidad se obtiene la distancia a la que se produjo la explosión:

$I_2=\frac{P}{4\pi r_2^{2}}\Rightarrow r_2=\sqrt{\frac{P}{4\pi I_2}}=\sqrt{\frac{314}{4\pi\cdot10^{-3}}}$

$r_2=158\,\text{m}$

Aplicando el teorema de Pitágoras se despeja la altura:

$r_2^{2}=h^{2}+50^{2}\Rightarrow h=\sqrt{158^{2}-50^{2}}$

$h=150\,\text{m}$

Si dos cohetes idénticos explotan a la vez en ese mismo punto, la intensidad que llega a Ainhoa es el doble, porque las intensidades de dos focos incoherentes se suman:

$I_{\text{total}}=2\,I_2=2\cdot10^{-3}\,\text{W/m}^2$

$\beta_{\text{total}}=10\log\frac{2\cdot10^{-3}}{10^{-12}}=90+10\log 2$

$\beta_{\text{total}}=93{,}0\,\text{dB}$

El cohete explotó a una altura de $150\,\text{m}$, y con dos cohetes simultáneos Ainhoa percibiría $93{,}0\,\text{dB}$: duplicar la intensidad solo aumenta el nivel sonoro en $3\,\text{dB}$.