Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Cataluña · 2024

Un pararrayos es una barra metálica vertical que atrae y dirige grandes descargas de corriente hacia tierra. La gran mayoría de rayos nube-tierra son negativos, es decir, son transferencias de carga negativa de la nube hacia la tierra. En el momento de la descarga se crea un campo magnético alrededor del pararrayos que podemos equiparar al creado por un hilo de corriente infinito. La corriente máxima que puede asumir un pararrayos es de unos $100\ \text{kA}$.

a) Calcule el campo magnético máximo que puede crear el pararrayos a una distancia de $10\ \text{cm}$. Haga un dibujo esquemático del pararrayos indicando el sentido del movimiento de los electrones, la intensidad de corriente y tres líneas de campo magnético. Justifique el sentido de las líneas de campo. [1,25 puntos]

b) Represente gráficamente el módulo de este campo magnético máximo en función de la distancia $r$ al pararrayos en el intervalo siguiente: $10\ \text{cm} \le r \le 50\ \text{cm}$. Suponga que hay un electrón que en el momento de la descarga se encuentra a $10\ \text{cm}$ del pararrayos y que tiene una velocidad de $10^{3}\ \text{m/s}$ paralela al pararrayos y hacia tierra. Calcule el módulo de la fuerza que crea el campo magnético sobre el electrón y justifique su dirección y su sentido. [1,25 puntos]

Datos: el módulo del campo magnético creado por un hilo infinito por el que circula una corriente $I$ a una distancia $r$ del hilo es $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$; $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T m A}^{-1}$; $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Calcule el campo magnético máximo que puede crear el pararrayos a una distancia de } \boldsymbol{10\ \text{cm}}\textbf{. Haga un dibujo esquemático del pararrayos indicando el sentido del movimiento de los electrones, la intensidad de corriente y tres líneas de campo magnético. Justifique el sentido de las líneas de campo. (1,25 puntos)}$










El rayo transfiere carga negativa de la nube hacia la tierra, de modo que los electrones se mueven hacia abajo. Como su carga es negativa, la intensidad de corriente convencional tiene sentido contrario: hacia arriba.

Aplicando la regla de la mano derecha al hilo, con el pulgar en el sentido de $I$, las líneas de campo son circunferencias contenidas en planos perpendiculares al pararrayos y centradas en él, recorridas en sentido antihorario visto desde arriba.





El módulo del campo magnético creado por un hilo rectilíneo indefinido es:

$B=\frac{\mu_0\,I}{2\pi r}$

Se sustituyen los datos del enunciado en unidades del Sistema Internacional:

$I=100\ \text{kA}=10^{5}\,\text{A}\qquad r=10\ \text{cm}=0{,}10\,\text{m}$

$B=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^{5}}{2\pi\cdot0{,}10}=0{,}200\,\text{T}$

El campo magnético máximo a $10\,\text{cm}$ del pararrayos es de $0{,}200\,\text{T}$.

$\textbf{b) Represente gráficamente el módulo de este campo magnético en función de la distancia } \boldsymbol{r}\textbf{ en el intervalo } \boldsymbol{10\ \text{cm}\le r\le 50\ \text{cm}}\textbf{. Calcule el módulo de la fuerza que crea el campo magnético sobre el electrón y justifique su dirección y su sentido. (1,25 puntos)}$

El módulo del campo es inversamente proporcional a la distancia al hilo, así que la gráfica es una rama de hipérbola. Sus valores en los extremos del intervalo son:

$B(0{,}10)=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^{5}}{2\pi\cdot0{,}10}=0{,}200\,\text{T}$

$B(0{,}50)=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10^{5}}{2\pi\cdot0{,}50}=0{,}0400\,\text{T}$



La fuerza magnética sobre una carga en movimiento viene dada por la ley de Lorentz:

$\vec F=q\,\vec v\times\vec B$

El electrón se mueve paralelamente al pararrayos, mientras que el campo magnético es perpendicular al pararrayos por ser tangente a las líneas de campo. Como $\vec v$ y $\vec B$ son perpendiculares entre sí, el módulo de la fuerza es:

$F=|q|\,v\,B$

$F=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^{3}\cdot0{,}200=3{,}20\cdot10^{-17}\,\text{N}$

Para la dirección y el sentido se toma un sistema de referencia con el eje $Z$ vertical y hacia arriba y con el electrón situado sobre el eje $X$ positivo, a $0{,}10\,\text{m}$ del pararrayos. Entonces:

$\vec v=-v\,\vec k\qquad \vec B=B\,\vec{\jmath}$

$\vec F=(-e)\left(-v\,\vec k\right)\times\left(B\,\vec{\jmath}\right)=e\,v\,B\left(\vec k\times\vec{\jmath}\right)=-e\,v\,B\,\vec{\imath}$

La fuerza tiene, por tanto, la dirección de la recta que une el electrón con el pararrayos y sentido hacia el pararrayos: el electrón es atraído hacia la barra.

Es el resultado esperado, porque un electrón que baja equivale a una corriente que sube, paralela y del mismo sentido que la del pararrayos, y dos corrientes paralelas del mismo sentido se atraen.