Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Cataluña · 2024

La superficie de la Tierra es principalmente agua que contiene iones en disolución y que le hacen adquirir una carga neta negativa. Se puede considerar que la Tierra tiene un campo eléctrico en puntos próximos a su superficie con un módulo constante de $150\ \text{N/C}$.

a) Dibuje la esfera terrestre y represente en ella el campo eléctrico alrededor de la superficie. Calcule el valor de la carga total que produce este campo eléctrico. Para hacerlo, considere que el campo eléctrico creado por una superficie esférica cargada uniformemente es igual al generado por toda la carga situada en el centro de la esfera. [1,25 puntos]

b) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica que producirá el campo eléctrico sobre un electrón libre situado junto a la superficie de la Tierra. Calcule la masa que ha de tener una gota esférica de agua con una carga extra de un solo electrón para que su peso se compense con la fuerza eléctrica. Haga un esquema en el que se muestren las fuerzas que actúan sobre la gota. Calcule el diámetro de esta gota de agua. [1,25 puntos]

Datos: radio de la Tierra, $R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$; densidad del agua, $\rho = 10^{3}\ \text{kg/m}^3$; masa del electrón, $M_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; superficie esférica: $4\pi r^2$; volumen de una esfera: $\frac{4}{3}\pi r^3$; $|e| = 1{,}602\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{N m}^2\text{ C}^{-2}$; $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

$\textbf{a) Dibuje la esfera terrestre y represente en ella el campo eléctrico alrededor de la superficie. Calcule el valor de la carga total que produce este campo eléctrico. (1,25 puntos)}$










Como la carga neta de la Tierra es negativa, el campo eléctrico en los puntos próximos a la superficie apunta hacia el centro del planeta: las líneas de campo son radiales y entrantes.

Considerando toda la carga concentrada en el centro, el módulo del campo en la superficie es el de una carga puntual:

$E=k\frac{|Q|}{R_T^2}$





Despejando la carga y sustituyendo los datos del enunciado:

$|Q|=\frac{E\,R_T^2}{k}=\frac{150\cdot\left(6{,}37\cdot10^{6}\right)^2}{8{,}99\cdot10^{9}}$

$|Q|=6{,}77\cdot10^{5}\,\text{C}$

Como el campo es entrante, la carga es negativa:

$Q=-6{,}77\cdot10^{5}\,\text{C}$

$\textbf{b) Calcule el módulo de la fuerza eléctrica sobre un electrón libre situado junto a la superficie de la Tierra. Calcule la masa que ha de tener una gota esférica de agua con una carga extra de un solo electrón para que su peso se compense con la fuerza eléctrica. Haga un esquema de las fuerzas que actúan sobre la gota. Calcule el diámetro de esta gota de agua. (1,25 puntos)}$

El módulo de la fuerza que un campo eléctrico ejerce sobre una carga es:

$F_e=|q|\,E=1{,}602\cdot10^{-19}\cdot150=2{,}40\cdot10^{-17}\,\text{N}$










Sobre la gota actúan dos fuerzas verticales y de sentidos opuestos: el peso, dirigido hacia el centro de la Tierra, y la fuerza eléctrica.

Como la gota tiene carga negativa y el campo es entrante, la fuerza eléctrica es saliente, es decir, hacia arriba.

Para que la gota quede en equilibrio ambas se han de compensar:

$P=F_e\Rightarrow m\,g=|q|\,E$





Despejando la masa de la gota:

$m=\frac{|q|\,E}{g}=\frac{2{,}40\cdot10^{-17}}{9{,}81}=2{,}45\cdot10^{-18}\,\text{kg}$

Conocida la masa y la densidad del agua, se obtiene el volumen de la gota:

$V=\frac{m}{\rho}=\frac{2{,}45\cdot10^{-18}}{10^{3}}=2{,}45\cdot10^{-21}\,\text{m}^3$

Como la gota es esférica, de ese volumen se despeja el radio:

$V=\frac43\pi r^3\Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{3V}{4\pi}}=\sqrt[3]{\frac{3\cdot2{,}45\cdot10^{-21}}{4\pi}}$

$r=8{,}36\cdot10^{-8}\,\text{m}$

$d=2r=1{,}67\cdot10^{-7}\,\text{m}$

La gota de agua tendría una masa de $2{,}45\cdot10^{-18}\,\text{kg}$ y un diámetro de $1{,}67\cdot10^{-7}\,\text{m}$, es decir, unos $167\,\text{nm}$.