Ejercicio resuelto de Movimiento armónico · Física · 2024

En el laboratorio diseñamos un experimento con dos masas que realizan movimientos independientes. La primera masa es de $0{,}5\ \text{kg}$ y cuelga de un muelle vertical. La segunda masa se encuentra sujeta a un disco vertical que gira a una velocidad angular de $6{,}41\ \text{rad/s}$ y el centro de esta masa está a una distancia de $19\ \text{cm}$ del centro del disco. Ambas masas se iluminan lateralmente y se observa que sus sombras siguen exactamente el mismo movimiento armónico simple. Para conseguirlo, soltamos desde abajo la masa del muelle justo en $t = 0\ \text{s}$, momento en el que la masa del disco también pasa por el punto más bajo de la rotación.

a) Escriba la ecuación de la posición vertical de las sombras respecto al tiempo. Halle la constante elástica del muelle y la energía mecánica del movimiento armónico simple. [1,25 puntos]

b) Calcule la ecuación de la velocidad y la de la energía cinética respecto al tiempo de la masa que cuelga del muelle. Represente la energía mecánica, la energía potencial y la energía cinética en función de la posición vertical para la masa que cuelga del muelle. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Escriba la ecuación de la posición vertical de las sombras respecto al tiempo. Halle la constante elástica del muelle y la energía mecánica del movimiento armónico simple. (1,25 puntos)}$

La sombra de un cuerpo que describe un movimiento circular uniforme es la proyección de ese movimiento sobre un diámetro, y esa proyección es un movimiento armónico simple. Por tanto, la amplitud del movimiento es el radio de giro y su pulsación es la velocidad angular del disco:

$A=19\ \text{cm}=0{,}19\,\text{m}$

$\omega=6{,}41\,\text{rad/s}$

En $t=0$ ambas masas están en el punto más bajo, es decir, en la elongación $y=-A$. Con la función coseno:

$y(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0)$

$-A=A\cos(\varphi_0)\Rightarrow \cos(\varphi_0)=-1\Rightarrow \varphi_0=\pi\ \text{rad}$

$y(t)=0{,}19\cos(6{,}41\,t+\pi)\ \text{m}$

que también puede escribirse como $y(t)=-0{,}19\cos(6{,}41\,t)\ \text{m}$.

El período del movimiento es:

$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{6{,}41}=0{,}980\,\text{s}$

La masa que cuelga del muelle describe el mismo movimiento armónico simple, y en un oscilador masa-muelle la pulsación depende de la constante elástica y de la masa:

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow k=m\,\omega^2$

$k=0{,}5\cdot6{,}41^2=20{,}5\,\text{N/m}$

La energía mecánica del movimiento armónico simple es constante y coincide con la energía potencial elástica en los extremos:

$E_M=\frac12\,k\,A^2=\frac12\cdot20{,}5\cdot0{,}19^2=0{,}371\,\text{J}$

La constante elástica del muelle es $20{,}5\,\text{N/m}$ y la energía mecánica del movimiento es $0{,}371\,\text{J}$.

$\textbf{b) Calcule la ecuación de la velocidad y la de la energía cinética respecto al tiempo de la masa que cuelga del muelle. Represente la energía mecánica, la energía potencial y la energía cinética en función de la posición vertical. (1,25 puntos)}$

La velocidad es la derivada de la elongación respecto al tiempo:

$v(t)=\frac{dy}{dt}=-A\,\omega\sin(\omega t+\pi)$

$v(t)=-0{,}19\cdot6{,}41\sin(6{,}41\,t+\pi)=1{,}22\sin(6{,}41\,t)\ \text{m/s}$

La energía cinética se obtiene de la velocidad:

$E_c(t)=\frac12\,m\,v^2(t)=\frac12\cdot0{,}5\cdot(1{,}22)^2\sin^2(6{,}41\,t)$

$E_c(t)=0{,}371\sin^2(6{,}41\,t)\ \text{J}$

Para representar las energías frente a la posición se expresan ambas en función de la elongación. La energía potencial elástica es una parábola y la energía cinética es la diferencia hasta la energía mecánica, que es constante:

$E_p(y)=\frac12\,k\,y^2=10{,}3\,y^2\ \text{J}$

$E_c(y)=E_M-E_p(y)=0{,}371-10{,}3\,y^2\ \text{J}$

En los extremos $y=\pm A$ toda la energía es potencial y la cinética se anula; en la posición de equilibrio $y=0$ ocurre lo contrario.