Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

BepiColombo es una misión espacial que tiene por objetivo la exploración de Mercurio. La misión fue lanzada en el año 2018, y llegará allí en 2025. Una vez allí, pondrá en órbita dos satélites alrededor del planeta. Uno de los satélites es el Mercury Planetary Orbiter (MPO), construido por la Agencia Espacial Europea, que orbitará alrededor de Mercurio con un radio orbital medio de $3\,360\ \text{km}$.

a) Considere un satélite que describe una órbita circular alrededor de Mercurio. Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite en función del radio orbital y de la masa de Mercurio (indique claramente en qué principios o leyes físicas se basa para hacer la deducción). Con esta expresión, calcule la velocidad orbital del satélite MPO mientras orbita alrededor de Mercurio. Calcule cuántas vueltas habrá dado al planeta al cabo de un año terrestre. [1,25 puntos]

b) A partir de la expresión general de la energía mecánica, obtenga su ecuación para el caso particular de un satélite en órbita circular (es necesario que la ecuación final esté expresada únicamente en función de $G$, el radio orbital y las masas del satélite y del planeta). Una vez el satélite MPO esté orbitando alrededor de Mercurio, todavía tendrá combustible para poder hacer maniobras. Considere que el combustible disponible puede proporcionar una energía de $4{,}5\cdot10^{9}\ \text{J}$. Determine el valor máximo que podría tener la masa del MPO para que con la energía disponible pudiese escapar del campo gravitatorio de Mercurio. [1,25 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot10^{-11}\ \text{N m}^2\text{ kg}^{-2}$; masa de Mercurio, $M_M = 3{,}285\cdot10^{23}\ \text{kg}$; año terrestre $= 365{,}25$ días.

$\textbf{a) Considere un satélite que describe una órbita circular alrededor de Mercurio. Deduzca la expresión de la velocidad orbital del satélite en función del radio orbital y de la masa de Mercurio. Con esta expresión, calcule la velocidad orbital del satélite MPO. Calcule cuántas vueltas habrá dado al planeta al cabo de un año terrestre. (1,25 puntos)}$










La única fuerza que actúa sobre el satélite es la fuerza gravitatoria que ejerce el planeta, dada por la ley de gravitación universal de Newton.

Como la órbita es circular y se recorre con celeridad constante, esa fuerza es la fuerza centrípeta del movimiento. Aplicando el segundo principio de la dinámica de Newton:

$F_g=m\,a_c\Rightarrow G\frac{M_M\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}$

Simplificando la masa del satélite y despejando la velocidad:

$v=\sqrt{\frac{G\,M_M}{r}}$





Obsérvese que la velocidad orbital no depende de la masa del satélite, sino solo de la masa del planeta y del radio de la órbita.

Se sustituyen los datos del enunciado en unidades del Sistema Internacional:

$r=3\,360\ \text{km}=3{,}36\cdot10^{6}\ \text{m}$

$v=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}285\cdot10^{23}}{3{,}36\cdot10^{6}}}=2{,}55\cdot10^{3}\,\text{m/s}$

Para contar las vueltas se necesita el período orbital, que es el tiempo que tarda el satélite en recorrer la circunferencia completa:

$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\cdot3{,}36\cdot10^{6}}{2{,}55\cdot10^{3}}=8{,}27\cdot10^{3}\,\text{s}$

Un año terrestre expresado en segundos:

$t=365{,}25\ \text{días}\cdot\frac{86\,400\ \text{s}}{1\ \text{día}}=3{,}156\cdot10^{7}\,\text{s}$

$n=\frac{t}{T}=\frac{3{,}156\cdot10^{7}}{8{,}27\cdot10^{3}}=3{,}82\cdot10^{3}\ \text{vueltas}$

La velocidad orbital del MPO es de $2{,}55\cdot10^{3}\,\text{m/s}$ y, al cabo de un año terrestre, habrá dado unas $3\,817$ vueltas a Mercurio.

$\textbf{b) A partir de la expresión general de la energía mecánica, obtenga su ecuación para un satélite en órbita circular. Determine el valor máximo que podría tener la masa del MPO para que con la energía disponible pudiese escapar del campo gravitatorio de Mercurio. (1,25 puntos)}$

La energía mecánica del satélite es la suma de su energía cinética y de su energía potencial gravitatoria:

$E_M=E_c+E_p=\frac12\,m\,v^2-G\frac{M_M\,m}{r}$

Del apartado anterior se conoce la velocidad orbital, de modo que la energía cinética se puede escribir en función del radio:

$\frac12\,m\,v^2=\frac12\,m\,\frac{G\,M_M}{r}=\frac{G\,M_M\,m}{2r}$

Sustituyendo en la energía mecánica:

$E_M=\frac{G\,M_M\,m}{2r}-\frac{G\,M_M\,m}{r}$

$E_M=-\frac{G\,M_M\,m}{2r}$

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es negativa, lo que expresa que el satélite está ligado al campo gravitatorio del planeta.

Escapar del campo gravitatorio significa llegar al infinito con energía mecánica nula. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía que hay que aportar es exactamente la que falta para anular la energía mecánica:

$\Delta E=0-E_M=\frac{G\,M_M\,m}{2r}$

El combustible solo puede proporcionar $4{,}5\cdot10^{9}\,\text{J}$, así que la masa máxima es la que cumple:

$\frac{G\,M_M\,m_{\max}}{2r}=4{,}5\cdot10^{9}$

$m_{\max}=\frac{2r\cdot4{,}5\cdot10^{9}}{G\,M_M}=\frac{2\cdot3{,}36\cdot10^{6}\cdot4{,}5\cdot10^{9}}{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}285\cdot10^{23}}$

$m_{\max}=1{,}38\cdot10^{3}\,\text{kg}$

Con el combustible disponible, el MPO solo podría escapar del campo gravitatorio de Mercurio si su masa no superase los $1{,}38\cdot10^{3}\,\text{kg}$.