Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.2 [2,5 puntos]
La estatura (en centímetros) del personal del servicio foral de extinción de incendios y salvamento es una variable aleatoria, $X$, que sigue una distribución normal de media $\mu$ y varianza 169 $cm^2$.
A partir de una muestra aleatoria simple de tamaño 81 se estima que la media es 175 $cm$.

a) [0,4 puntos] Indica cuál es la distribución de la media muestral, $\overline{X}$.
b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura media esté entre 172 y 182 $cm$?
c) [0,75 puntos] En la distribución de la media muestral, $\overline{X}$, obtén el intervalo característico para el 99 %.
d) [0,6 puntos] Si se quiere estimar la estatura media del personal de dicho servicio de forma que el error máximo admisible no sobrepase los 2 $cm$, con un nivel de confianza del 94 %, ¿cuántas personas se tendrán que escoger para formar parte de la muestra?

De la varianza se obtiene la desviación típica de la población, que es el dato que interviene en todos los apartados.

$\sigma^2=169\ \text{cm}^2\ \Rightarrow\ \sigma=\sqrt{169}=13\ \text{cm}$

$\textbf{a) [0,4 puntos] Indica cuál es la distribución de la media muestral, } \boldsymbol{\overline{X}}\textbf{.}$

Si la población sigue una distribución normal, la media de una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ también se distribuye normalmente, con la misma media y con desviación típica $\sigma/\sqrt{n}$.

$\overline{X}\sim N\!\left(\mu,\ \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{13}{\sqrt{81}}=\dfrac{13}{9}\approx 1{,}44\ \text{cm}$

Tomando como estimación de la media poblacional la media muestral, $\mu\approx 175\ \text{cm}$:

$\overline{X}\sim N\!\left(175,\ \dfrac{13}{9}\right)$

La media muestral sigue una distribución normal de media $175\ \text{cm}$ y desviación típica $\frac{13}{9}\approx 1{,}44\ \text{cm}$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura media esté entre 172 y 182 } \boldsymbol{\text{cm}}\textbf{?}$

Se tipifica la media muestral con los parámetros del apartado anterior.

$Z=\dfrac{\overline{X}-175}{\frac{13}{9}}\sim N(0,1)$

$P(172<\overline{X}<182)=P\left(\dfrac{172-175}{\frac{13}{9}}<Z<\dfrac{182-175}{\frac{13}{9}}\right)$

$\dfrac{-3}{\frac{13}{9}}=-\dfrac{27}{13}\approx -2{,}08\qquad ;\qquad \dfrac{7}{\frac{13}{9}}=\dfrac{63}{13}\approx 4{,}85$

$P(-2{,}08<Z<4{,}85)=\Phi(4{,}85)-\Phi(-2{,}08)=\Phi(4{,}85)-\left(1-\Phi(2{,}08)\right)$

Un valor tipificado de $4{,}85$ queda fuera de la tabla, donde el área acumulada ya vale $1$ a partir de $3{,}9$, así que se toma $\Phi(4{,}85)=1$.

$=1-(1-0{,}9812)=1-0{,}0188=0{,}9812$

La probabilidad de que la estatura media de la muestra esté entre $172$ y $182\ \text{cm}$ es $0{,}9812$, es decir, un $98{,}12\%$.



$\textbf{c) [0,75 puntos] En la distribución de la media muestral, } \boldsymbol{\overline{X}}\textbf{, obtén el intervalo característico para el 99 \%.}$

El intervalo característico para un nivel de confianza del $99\%$ es el centrado en la media que deja fuera un $1\%$ repartido entre las dos colas.

$1-\alpha=0{,}99\ \Rightarrow\ \alpha=0{,}01\ \Rightarrow\ \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005$

$\Phi\!\left(z_{\alpha/2}\right)=1-0{,}005=0{,}995\ \Rightarrow\ z_{\alpha/2}=2{,}58$

$\left(\mu-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \mu+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=\left(175-2{,}58\cdot\dfrac{13}{9},\ 175+2{,}58\cdot\dfrac{13}{9}\right)$

$2{,}58\cdot\dfrac{13}{9}=3{,}7267$

$(175-3{,}7267,\ 175+3{,}7267)=(171{,}2733;\ 178{,}7267)$

El intervalo característico para el $99\%$ es $(171{,}27;\ 178{,}73)\ \text{cm}$, aproximadamente.

$\textbf{d) [0,6 puntos] Si se quiere estimar la estatura media del personal de dicho servicio de forma que el error máximo admisible no sobrepase los 2 } \boldsymbol{\text{cm}}\textbf{, con un nivel de confianza del 94 \%, ¿cuántas personas se tendrán que escoger para formar parte de la muestra?}$

El error máximo admisible de una estimación de la media es el semiancho del intervalo de confianza, y de esa expresión se despeja el tamaño de la muestra.

$1-\alpha=0{,}94\ \Rightarrow\ \dfrac{\alpha}{2}=0{,}03\ \Rightarrow\ \Phi\!\left(z_{\alpha/2}\right)=0{,}97\ \Rightarrow\ z_{\alpha/2}=1{,}88$

$E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 2$

$\sqrt{n}\geq\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot\sigma}{E}=\dfrac{1{,}88\cdot 13}{2}=12{,}22$

$n\geq 12{,}22^2=149{,}3284$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero y la desigualdad exige que sea al menos $149{,}3284$, se redondea siempre hacia arriba.

Se tendrán que escoger $150$ personas para formar parte de la muestra.