Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 5
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 5.1 o APARTADO 5.2
APARTADO 5.1 [2,5 puntos]
En un determinado año, la nota de la Prueba para el Acceso a la Universidad, PAU, del alumnado que se ha preinscrito en el Grado en Arquitectura Técnica sigue una distribución normal de media 6,8 puntos y desviación típica 0,6 puntos.
Por otro lado, la nota del alumnado que se ha preinscrito en el Grado en Biomedical Engineering sigue una distribución normal de media 7 puntos y desviación típica 0,5 puntos.
En ambos casos solo se puede admitir al 25 % del alumnado preinscrito que tiene las mejores calificaciones. Si Yolanda ha obtenido una nota de 7,25 puntos y Teresa de 7,45 puntos, ¿a qué grados tendrán opción de acceso?

Se llama $X$ a la nota del alumnado preinscrito en Arquitectura Técnica y $Y$ a la del preinscrito en Biomedical Engineering.

$X\sim N(6{,}8\,;\;0{,}6)\qquad ;\qquad Y\sim N(7\,;\;0{,}5)$

Admitir al $25\%$ con mejores calificaciones equivale a fijar una nota de corte que deje por encima ese $25\%$, es decir, el tercer cuartil de cada distribución. Se busca primero el valor tipificado común a los dos grados.

$P(X>k)=0{,}25\ \Rightarrow\ P(X\leq k)=0{,}75$

$P\left(Z\leq\dfrac{k-\mu}{\sigma}\right)=0{,}75\ \Rightarrow\ \Phi(z_0)=0{,}75$

En la tabla de la $N(0,1)$ el valor más próximo a $0{,}75$ es $\Phi(0{,}67)=0{,}7486$, de modo que se toma $z_0=0{,}67$.

i) Nota de corte del Grado en Arquitectura Técnica:

$\dfrac{k_X-6{,}8}{0{,}6}=0{,}67\ \Rightarrow\ k_X=6{,}8+0{,}67\cdot 0{,}6=6{,}8+0{,}402=7{,}202$



ii) Nota de corte del Grado en Biomedical Engineering:

$\dfrac{k_Y-7}{0{,}5}=0{,}67\ \Rightarrow\ k_Y=7+0{,}67\cdot 0{,}5=7+0{,}335=7{,}335$



Ahora basta comparar cada nota con las dos notas de corte.

$\text{Yolanda}:\ \begin{cases} 7{,}25>7{,}202\ \Rightarrow\ \text{accede a Arquitectura Técnica} \\ 7{,}25<7{,}335\ \Rightarrow\ \text{no accede a Biomedical Engineering} \end{cases}$

$\text{Teresa}:\ \begin{cases} 7{,}45>7{,}202\ \Rightarrow\ \text{accede a Arquitectura Técnica} \\ 7{,}45>7{,}335\ \Rightarrow\ \text{accede a Biomedical Engineering} \end{cases}$

Yolanda tendrá opción de acceso solamente al Grado en Arquitectura Técnica, mientras que Teresa tendrá opción de acceso a los dos grados.