Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.2 [2,5 puntos]
Sea la función $f(x): (0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definida como:

$f(x) = \dfrac{ax^2+b}{x}$

Sabemos que la recta $y=-2$ es la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x=1$.

a) [1,25 puntos] Calcula el valor de los parámetros $a$ y $b$.
b) [0,75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $f(x)$, cuando $a=b=-1$.
c) [0,5 puntos] Para los valores $a=b=-1$, ¿tiene la función $f(x)$ algún máximo o mínimo relativo? En caso afirmativo, determínalo.

Conviene escribir la función separando los dos sumandos, porque así se deriva sin usar la regla del cociente.

$f(x)=\dfrac{ax^2+b}{x}=ax+\dfrac{b}{x},\qquad x>0$

$f'(x)=a-\dfrac{b}{x^2}$

$\textbf{a) [1,25 puntos] Calcula el valor de los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{.}$

Que la recta $y=-2$ sea tangente a la curva en $x=1$ impone dos condiciones: la curva pasa por el punto de tangencia y su pendiente allí coincide con la de la recta, que es horizontal.

$\begin{cases} f(1)=-2 \\ f'(1)=0 \end{cases}$

$f(1)=a\cdot 1+\dfrac{b}{1}=a+b=-2$

$f'(1)=a-\dfrac{b}{1^2}=a-b=0\ \Rightarrow\ a=b$

Se sustituye la segunda condición en la primera:

$a+a=-2\ \Rightarrow\ 2a=-2\ \Rightarrow\ a=-1\ \Rightarrow\ b=-1$

Los parámetros valen $a=-1$ y $b=-1$.

$\textbf{b) [0,75 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{, cuando } \boldsymbol{a=b=-1}\textbf{.}$

Con esos valores la función y su derivada quedan así:

$f(x)=-x-\dfrac{1}{x}\qquad ;\qquad f'(x)=-1+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1-x^2}{x^2}$

Como el dominio es $(0,+\infty)$, el denominador es siempre positivo y el signo de la derivada lo decide únicamente el numerador.

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ 1-x^2=0\ \Rightarrow\ x=\pm 1$

Se descarta $x=-1$ por no pertenecer al dominio de la función. Se hace un estudio de signos en los dos tramos que deja $x=1$.

$\begin{cases} f'\left(\frac{1}{2}\right)=-1+4=3>0 \\ f'(2)=-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}<0 \end{cases}$

$\begin{array}{c|cc} & (0,1) & (1,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & - \\ f(x) & \nearrow & \searrow \end{array}$

La función crece en el intervalo $(0,1)$ y decrece en el intervalo $(1,+\infty)$.



$\textbf{c) [0,5 puntos] Para los valores } \boldsymbol{a=b=-1}\textbf{, ¿tiene la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ algún máximo o mínimo relativo? En caso afirmativo, determínalo.}$

El único punto crítico del dominio es $x=1$, y el estudio de signos del apartado anterior muestra que en él la derivada pasa de positiva a negativa.

$f'(x)>0\ \text{si }0<x<1\quad ;\quad f'(x)<0\ \text{si }x>1\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo en }x=1$

$f(1)=-1-\dfrac{1}{1}=-2$

El resultado es coherente con el enunciado: la recta tangente en ese punto era horizontal, $y=-2$, que es justamente la altura del máximo.

La función tiene un máximo relativo en el punto $(1,-2)$, y no tiene ningún mínimo relativo.