Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2025

PROBLEMA 3
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 3.1 o APARTADO 3.2
APARTADO 3.1 [2,5 puntos]
Las funciones $E(x)$ y $D(x)$ representan, respectivamente, el rendimiento de dos pintores, Eneko y Deiene, un determinado día que trabajan durante 8 horas.
Ambas funciones miden los metros cuadrados pintados por hora y se pueden determinar mediante las expresiones:

$E(x) = -x^2+19x+66, \quad 0\le x\le 8$

$D(x) = -x^2+5x+150, \quad 0\le x\le 8$

a) [0,3 puntos] ¿Qué pintor tiene mejor rendimiento inicial?
b) [0,6 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Eneko? ¿Cuándo se da?
c) [0,5 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Deiene? ¿Cuándo se da?
d) [0,3 puntos] ¿Cuándo tienen ambos el mismo rendimiento?
e) [0,8 puntos] Al final de la jornada laboral de ese día, ¿cuántos $m^2$ ha pintado Deiene en total?

Antes de entrar en los apartados se calculan las dos derivadas, que hacen falta en varios de ellos.

$E'(x)=-2x+19\qquad ;\qquad D'(x)=-2x+5$



$\textbf{a) [0,3 puntos] ¿Qué pintor tiene mejor rendimiento inicial?}$

El rendimiento inicial es el de la hora cero, es decir, el valor de cada función en $x=0$.

$E(0)=-0^2+19\cdot 0+66=66\ \text{m}^2/\text{h}$

$D(0)=-0^2+5\cdot 0+150=150\ \text{m}^2/\text{h}$

Deiene tiene mejor rendimiento inicial, $150\ \text{m}^2/\text{h}$ frente a los $66\ \text{m}^2/\text{h}$ de Eneko.

$\textbf{b) [0,6 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Eneko? ¿Cuándo se da?}$

Se busca el máximo de $E(x)$ en el intervalo cerrado $[0,8]$, de modo que hay que comparar los puntos críticos con los extremos del intervalo.

$E'(x)=0\ \Rightarrow\ -2x+19=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{19}{2}=9{,}5$

El punto crítico queda fuera del intervalo, ya que $9{,}5>8$. Como la parábola tiene el vértice a la derecha de $x=8$ y las ramas hacia abajo, la función es creciente en todo el intervalo de trabajo:

$E'(x)>0\ \text{para todo }x\in[0,8]\quad \left(\text{por ejemplo }E'(8)=3>0\right)$

El máximo se alcanza entonces en el extremo derecho.

$E(8)=-8^2+19\cdot 8+66=-64+152+66=154$

El mayor rendimiento de Eneko es de $154\ \text{m}^2/\text{h}$, y lo alcanza al final de la jornada, en la octava hora.

$\textbf{c) [0,5 puntos] ¿Cuál es el mayor rendimiento de Deiene? ¿Cuándo se da?}$

Se repite el razonamiento con $D(x)$, cuyo punto crítico sí pertenece al intervalo.

$D'(x)=0\ \Rightarrow\ -2x+5=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{5}{2}=2{,}5$

$D''(x)=-2<0\ \Rightarrow\ \text{máximo relativo}$

$D(2{,}5)=-2{,}5^2+5\cdot 2{,}5+150=-6{,}25+12{,}5+150=156{,}25$

Comparando con los extremos, $D(0)=150$ y $D(8)=126$, se confirma que ese es el máximo absoluto del intervalo.

El mayor rendimiento de Deiene es de $156{,}25\ \text{m}^2/\text{h}$, y lo alcanza a las $2{,}5$ horas de empezar, es decir, a las dos horas y media.

$\textbf{d) [0,3 puntos] ¿Cuándo tienen ambos el mismo rendimiento?}$

Se igualan las dos funciones. Los términos de segundo grado son iguales y se cancelan, con lo que queda una ecuación de primer grado.

$E(x)=D(x)\ \Rightarrow\ -x^2+19x+66=-x^2+5x+150$

$19x-5x=150-66\ \Rightarrow\ 14x=84\ \Rightarrow\ x=6$

$E(6)=D(6)=-36+114+66=144$

El valor obtenido pertenece al intervalo de trabajo. Los dos pintores tienen el mismo rendimiento a las $6$ horas de empezar, y en ese instante ambos pintan $144\ \text{m}^2/\text{h}$.

$\textbf{e) [0,8 puntos] Al final de la jornada laboral de ese día, ¿cuántos } \boldsymbol{\text{m}^2}\textbf{ ha pintado Deiene en total?}$

La función $D(x)$ mide metros cuadrados por hora, así que los metros cuadrados totales de la jornada son el área bajo la curva entre $x=0$ y $x=8$, es decir, la integral definida de $D$ en ese intervalo.

$\int_{0}^{8}D(x)\,dx=\int_{0}^{8}\left(-x^2+5x+150\right)dx$

Aplicando la regla de Barrow:

$=\left[-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{5x^2}{2}+150x\right]_{0}^{8}$

$=\left(-\dfrac{512}{3}+\dfrac{5\cdot 64}{2}+150\cdot 8\right)-0=-\dfrac{512}{3}+160+1200$

$=\dfrac{-512+4080}{3}=\dfrac{3568}{3}\approx 1189{,}33$

Al final de la jornada Deiene ha pintado $\frac{3568}{3}\approx 1189{,}33\ \text{m}^2$.