Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.2 [2,5 puntos]
Dada la matriz $A(a)$:

$A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

a) [0,6 puntos] Calcula, razonadamente, el valor de $a$ para que el determinante de $A^2(a)$ valga 4.
b) [1 punto] Comprueba si la matriz $A(a)$ es regular (invertible) para los valores de $a$ obtenidos en el apartado anterior. Si es regular para el caso $a=2$, calcula $A^{-1}(a)$.
c) [0,9 puntos] Determina la siguiente matriz $M$ y el valor de su determinante:

$M = A^t(2) \cdot A^{-1}(2)$

$\textbf{a) [0,6 puntos] Calcula, razonadamente, el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que el determinante de } \boldsymbol{A^2(a)}\textbf{ valga 4.}$

No hace falta calcular la matriz $A^2(a)$: por la propiedad del determinante de un producto, el determinante del cuadrado es el cuadrado del determinante.

$|A^2(a)|=|A(a)\cdot A(a)|=|A(a)|\cdot|A(a)|=|A(a)|^2$

La matriz $A(a)$ es triangular inferior, así que su determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal.

$|A(a)|=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1\cdot a\cdot 1=a$

$|A^2(a)|=a^2=4\ \Rightarrow\ a=\pm 2$

El determinante de $A^2(a)$ vale $4$ para $a=2$ y para $a=-2$.

$\textbf{b) [1 punto] Comprueba si la matriz } \boldsymbol{A(a)}\textbf{ es regular (invertible) para los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ obtenidos en el apartado anterior. Si es regular para el caso } \boldsymbol{a=2}\textbf{, calcula } \boldsymbol{A^{-1}(a)}\textbf{.}$

Una matriz cuadrada es regular si y solo si su determinante es distinto de cero. Como $|A(a)|=a$, los dos valores obtenidos dan matrices regulares.

$|A(2)|=2\neq 0\quad ;\quad |A(-2)|=-2\neq 0$

Se calcula la inversa para $a=2$ por el método de la matriz adjunta.

$A(2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad |A(2)|=2$

$\text{Adj}\,A(2)=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\ \Rightarrow\ \left(\text{Adj}\,A(2)\right)^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$

$A^{-1}(2)=\dfrac{1}{|A(2)|}\left(\text{Adj}\,A(2)\right)^{t}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba multiplicando:

$A(2)\cdot A^{-1}(2)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I$

Ambas matrices son regulares, y la inversa para $a=2$ es la anterior.

$\textbf{c) [0,9 puntos] Determina la siguiente matriz } \boldsymbol{M}\textbf{ y el valor de su determinante: } \boldsymbol{M=A^t(2)\cdot A^{-1}(2)}\textbf{.}$

Se traspone primero la matriz $A(2)$ y se multiplica después por la inversa recién calculada.

$A^t(2)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$M=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$

El determinante se obtiene sin desarrollarlo, usando que el determinante de un producto es el producto de los determinantes, que una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante, y que el de la inversa es el inverso.

$|M|=|A^t(2)|\cdot|A^{-1}(2)|=|A(2)|\cdot\dfrac{1}{|A(2)|}=2\cdot\dfrac{1}{2}=1$

La matriz pedida es $M=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$ y su determinante vale $1$.