Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 2
En caso de elegir este problema hay que responder a uno de estos dos apartados: APARTADO 2.1 o APARTADO 2.2
APARTADO 2.1 [2,5 puntos]
Una tienda dispone de latas de conserva de tomate de tres fabricantes: A, B y C.
El fabricante A envasa el tomate en latas de 250 g, el fabricante B lo envasa en latas de 500 g y el fabricante C en latas de 1 kg. Dichas latas de tomate se venden a 1, 1,8 y 3,3 €, respectivamente.
Compramos 20 latas que tienen un peso total de 10 kg y un valor total de 35,6 €. Queremos saber cuántas latas hemos comprado de cada fabricante.

a) [1 punto] Plantea el sistema de ecuaciones que resuelve el problema.
b) [1,5 puntos] Resuelve el problema.

$\textbf{a) [1 punto] Plantea el sistema de ecuaciones que resuelve el problema.}$

Se llama a cada incógnita por el número de latas compradas a cada fabricante, y se ordenan los datos en una tabla antes de escribir las ecuaciones.

$x=\,\text{latas del fabricante }A,\quad y=\,\text{latas del fabricante }B,\quad z=\,\text{latas del fabricante }C$

$$	$A$	$B$	$C$	$\text{Total}$ Peso por lata (g)	250	500	1000	$$ Precio por lata (€)	1	1,8	3,3	$$ Latas compradas	$x$	$y$	$z$	20

Las tres condiciones del enunciado son el número total de latas, el peso total —expresado en gramos, porque los $10\ \text{kg}$ son $10\,000\ \text{g}$— y el valor total.

$\begin{cases} x+y+z=20 \\ 250x+500y+1000z=10\,000 \\ x+1{,}8y+3{,}3z=35{,}6 \end{cases}$

La segunda ecuación se simplifica dividiendo entre $250$:

$\begin{cases} x+y+z=20 \\ x+2y+4z=40 \\ x+1{,}8y+3{,}3z=35{,}6 \end{cases}$

El sistema que resuelve el problema es el anterior, con $x$, $y$ y $z$ el número de latas de cada fabricante.

$\textbf{b) [1,5 puntos] Resuelve el problema.}$

Se resuelve por reducción, restando la primera ecuación a las otras dos para eliminar la incógnita $x$.

$(x+2y+4z)-(x+y+z)=40-20\ \Rightarrow\ y+3z=20$

$(x+1{,}8y+3{,}3z)-(x+y+z)=35{,}6-20\ \Rightarrow\ 0{,}8y+2{,}3z=15{,}6$

Se despeja $y$ de la primera de estas dos y se sustituye en la segunda.

$y=20-3z$

$0{,}8(20-3z)+2{,}3z=15{,}6\ \Rightarrow\ 16-2{,}4z+2{,}3z=15{,}6$

$-0{,}1z=-0{,}4\ \Rightarrow\ z=4$

Se deshace la sustitución:

$y=20-3\cdot 4=8$

$x=20-y-z=20-8-4=8$

Se comprueba la solución en las tres condiciones de partida:

$\begin{cases} 8+8+4=20\ \text{latas} \\ 250\cdot 8+500\cdot 8+1000\cdot 4=10\,000\ \text{g}=10\ \text{kg} \\ 8\cdot 1+8\cdot 1{,}8+4\cdot 3{,}3=8+14{,}4+13{,}2=35{,}6\ \text{euros} \end{cases}$

Se han comprado $8$ latas del fabricante $A$, $8$ latas del fabricante $B$ y $4$ latas del fabricante $C$.