Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

PROBLEMA 1 [2,5 puntos]
La elaboración de tapices es un arte que se transmite de generación en generación, por lo que la mayoría de los maestros tejedores tienen experiencia en tapicería tradicional y están capacitados para aprender las técnicas y procesos.
Con el fin de planificar la producción de estas pequeñas obras de arte, un fabricante egipcio organiza las necesidades de materia prima por meses y las unidades producidas por metro lineal. En un determinado mes dispone de 50 kg de hilo de seda, 40 kg de hilo de plata y 22,5 kg de hilo de oro.
Para crear algunos tapices se suelen necesitar días y emplear materiales más económicos (tipo A); otros, en cambio, se suelen tardar semanas y requerir de materiales de mayor calidad y coste para su creación (tipo B); pero todos ellos necesitan la paciencia y la atención de los expertos en los detalles para convertirse en una pieza de artesanía.
Para fabricar un metro lineal de tapiz del tipo A se necesitan 100 g de hilo de seda y 200 g de hilo de plata; y para cada metro lineal del tipo B, 200 g de hilo de seda, 100 g de hilo de plata y 100 g de hilo de oro.
El metro lineal de tapiz del tipo A se vende a 2.000 €, y en el caso del tipo B a 3.000 €.
Si se vende todo lo que se fabrica:

a) [1,6 puntos] ¿Cuántos metros lineales de cada tipo de tapiz deben elaborarse ese mes para maximizar los ingresos?
b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?
c) [0,6 puntos] ¿Qué cantidades de hilo de seda, plata y oro quedarán cuando se fabriquen los metros lineales de cada tipo de tapiz que generan el ingreso máximo?

Se nombran las variables de decisión y se ordenan en una tabla los consumos de materia prima, pasando todas las cantidades a gramos para que no se mezclen unidades.

$x=\,\text{metros lineales de tapiz del tipo }A$

$y=\,\text{metros lineales de tapiz del tipo }B$

$$	$\text{Seda (g)}$	$\text{Plata (g)}$	$\text{Oro (g)}$	$\text{Precio}$ Tipo $A$	100	200	0	2000 € Tipo $B$	200	100	100	3000 € Disponible	50 000	40 000	22 500	$$

$\textbf{a) [1,6 puntos] ¿Cuántos metros lineales de cada tipo de tapiz deben elaborarse ese mes para maximizar los ingresos?}$

La función objetivo son los ingresos por la venta de todo lo fabricado, y las restricciones son las tres materias primas disponibles más la no negatividad de las variables.

$f(x,y)=2000x+3000y$

$\begin{cases} 100x+200y\leq 50\,000 \\ 200x+100y\leq 40\,000 \\ 100y\leq 22\,500 \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

Se simplifican las tres primeras dividiendo entre $100$:

$\begin{cases} x+2y\leq 500 \\ 2x+y\leq 400 \\ y\leq 225 \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

El origen cumple las tres desigualdades, de modo que la región factible queda por debajo de las tres rectas dentro del primer cuadrante. Sus vértices son los puntos $O(0,0)$, $A(200,0)$ y $D(0,225)$, que se leen de los ejes, más los dos que salen de cortar las rectas dos a dos.

Corte de la recta de la seda con la de la plata:

$\begin{cases} x+2y=500 \\ 2x+y=400 \end{cases}\ \Rightarrow\ x=500-2y$

$2(500-2y)+y=400\ \Rightarrow\ 1000-3y=400\ \Rightarrow\ y=200$

$x=500-2\cdot 200=100\ \Rightarrow\ B(100,200)$

Corte de la recta de la seda con la del oro:

$\begin{cases} x+2y=500 \\ y=225 \end{cases}\ \Rightarrow\ x=500-450=50\ \Rightarrow\ C(50,225)$



Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en un vértice, así que se evalúa la función objetivo en los cinco.

$\begin{cases} f(0,0)=0 \\ f(200,0)=2000\cdot 200=400\,000 \\ f(100,200)=2000\cdot 100+3000\cdot 200=800\,000 \\ f(50,225)=2000\cdot 50+3000\cdot 225=775\,000 \\ f(0,225)=3000\cdot 225=675\,000 \end{cases}$

Deben elaborarse $100$ metros lineales de tapiz del tipo $A$ y $200$ metros lineales del tipo $B$.

$\textbf{b) [0,3 puntos] ¿A cuánto asciende dicho ingreso máximo?}$

El ingreso máximo es el valor que toma la función objetivo en ese vértice, ya calculado en el apartado anterior.

$f(100,200)=2000\cdot 100+3000\cdot 200=200\,000+600\,000=800\,000$

El ingreso máximo asciende a $800\,000$ euros.

$\textbf{c) [0,6 puntos] ¿Qué cantidades de hilo de seda, plata y oro quedarán cuando se fabriquen los metros lineales de cada tipo de tapiz que generan el ingreso máximo?}$

Basta calcular cuánto hilo de cada clase consume la producción óptima y restarlo de lo disponible.

$\text{Seda}:\ 100\cdot 100+200\cdot 200=10\,000+40\,000=50\,000\ \text{g}$

$\text{Plata}:\ 200\cdot 100+100\cdot 200=20\,000+20\,000=40\,000\ \text{g}$

$\text{Oro}:\ 100\cdot 200=20\,000\ \text{g}$

$\begin{cases} \text{Sobra de seda}=50\,000-50\,000=0\ \text{g} \\ \text{Sobra de plata}=40\,000-40\,000=0\ \text{g} \\ \text{Sobra de oro}=22\,500-20\,000=2\,500\ \text{g} \end{cases}$

Este resultado era previsible: el vértice óptimo $B(100,200)$ es precisamente el corte de las rectas de la seda y de la plata, así que las dos restricciones se cumplen con igualdad y esas dos materias primas se agotan.

No queda hilo de seda ni hilo de plata, y del hilo de oro sobran $2\,500$ gramos, es decir, $2{,}5\ \text{kg}$.